Congruences of modular forms and the Iwasawa $\lambda $-invariants

Hirano, Yuichi

doi:10.24033/bsmf.2752

Geodesic

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Congruences of modular forms and the Iwasawa

λ

-invariants
[Congruences de formes modulaires et

λ

-invariants d’Iwasawa]

Hirano, Yuichi ¹

¹ Graduate School of Mathematical Sciences, The University of Tokyo, 8-1 Komaba 3-chome, Meguro-ku, Tokyo, 153-8914, Japan

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 146 (2018) no. 1, pp. 1-79

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Abstract (VO)
Résumé

In this paper, we show how congruences between cusp forms and Eisenstein series of weight $k \geq 2$ give rise to corresponding congruences between the algebraic parts of the critical values of the associated $L$ -functions. This is a generalization of results of Mazur, Stevens, and Vatsal in the case where $k = 2$ . As an application, by proving congruences between the $p$ -adic $L$ -function of a certain cusp form and the product of two Kubota-Leopoldt $p$ -adic $L$ -functions, we prove the Iwasawa main conjecture (up to $p$ -power) for cusp forms at ordinary primes $p$ when the associated residual Galois representations are reducible. This is a generalization of Greenberg and Vatsal in the case where $k = 2$ .

Dans cet article, nous montrons comment les congruences entre formes paraboliques et séries d’Eisenstein de poids $k \geq 2$ donnent lieu à des congruences entre les parties algébriques des valeurs critiques des fonctions $L$ associées. C’est une généralisation des travaux de Mazur, Stevens et Vatsal dans le cas où $k = 2$ . Comme application, en prouvant des congruences entre la fonction $p$ -adique $L$ d’une certaine forme parabolique et le produit de deux fonctions de Kubota-Leopoldt $p$ -adiques $L$ , nous prouvons la conjecture principale d’Iwasawa (à puissance $p$ près) pour les formes paraboliques à nombres premiers ordinaires $p$ lorsque les représentations de Galois résiduelles associées sont réductibles. C’est une généralisation des travaux de Greenberg et Vatsal dans le cas où $k = 2$ .

MR Zbl

DOI : 10.24033/bsmf.2752

Classification : 11F33, 11F67, 11F75, 11R23, 14F30
Keywords: Congruences of modular forms, special values of $L$-functions, Iwasawa theory, Eisenstein series, Mellin transform, $p$-adic Hodge theory

Affiliations des auteurs :

Hirano, Yuichi ¹

¹ Graduate School of Mathematical Sciences, The University of Tokyo, 8-1 Komaba 3-chome, Meguro-ku, Tokyo, 153-8914, Japan

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Hirano, Yuichi. Congruences of modular forms and the Iwasawa $\lambda $-invariants. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 146 (2018) no. 1, pp. 1-79. doi: 10.24033/bsmf.2752

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