Équivalence monoïdale de groupes quantiques et $K$-théorie bivariante

Baaj, Saad; Crespo, Jonathan

doi:10.24033/bsmf.2751

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Équivalence monoïdale de groupes quantiques et

K

-théorie bivariante

Baaj, Saad ¹ ; Crespo, Jonathan

¹ Laboratoire de Mathématiques, UMR 6620 - CNRS, Université Blaise Pascal, Campus des Cézeaux, 3, place Vasarely, BP 80026, 63171 Aubière cedex, France

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 145 (2017) no. 4, pp. 711-802

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Résumé (VO)
Abstract

Dans cet article, nous généralisons au cas localement compact et régulier, deux résultats fondamentaux [10] [27] portant sur les actions des groupes quantiques compacts. Soient $G_{1}$ et $G_{2}$ deux groupes quantiques localement compacts monoïdalement équivalents [6, 7] au sens de De Commer, et réguliers. Par un procédé d’induction que nous introduisons, nous établissons une équivalence des catégories $A^{G_{1}}$ et $A^{G_{2}}$ formées par les actions des groupes $G_{1}$ et $G_{2}$ dans les C*-algèbres. Comme application de ce résultat, nous déduisons l’équivalence des catégories $K K^{G_{1}}$ et $K K^{G_{2}}$ . La preuve s’appuie sur une version de la dualité de Takesaki-Takai pour les actions continues dans les C*-algèbres d’un groupoïde mesuré quantique de base finie.

In this article, we generalize to the case of regular locally compact quantum groups, two important results concerning actions of compact quantum groups (see [10] and [27]). Let $G_{1}$ and $G_{2}$ be two monoïdally equivalent regular locally compact quantum groups in the sense of De Commer (see [6, 7]). We introduce an induction procedure and we build an equivalence of the categories $A^{G_{1}}$ and $A^{G_{2}}$ consisting of continuous actions of $G_{1}$ and $G_{2}$ on C*-algebras. As an application of this result, we derive a canonical equivalence of the categories $K K^{G_{1}}$ and $K K^{G_{2}}$ . We introduce and investigate a notion of actions on C*-algebras of measured quantum groupoids (see [12]) on a finite basis. The proof of the equivalence between $K K^{G_{1}}$ and $K K^{G_{2}}$ relies on a version of the Takesaki-Takai duality theorem for continuous actions on C*-algebras of measured quantum groupoids on a finite basis.

MR Zbl

DOI : 10.24033/bsmf.2751

Mots-clés : Groupes quantiques localement compacts, équivalence monoïdale, K-théorie bivariante.
Keywords: Locally compact quantum groups, monoidal equivalence, bivariant K-theory.

Affiliations des auteurs :

Baaj, Saad ¹ ; Crespo, Jonathan

¹ Laboratoire de Mathématiques, UMR 6620 - CNRS, Université Blaise Pascal, Campus des Cézeaux, 3, place Vasarely, BP 80026, 63171 Aubière cedex, France

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