Norm-inflation with Infinite Loss of Regularity for Periodic NLS Equations in Negative Sobolev Spaces

Carles, Rémi; Kappeler, Thomas

doi:10.24033/bsmf.2749

Geodesic

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Norm-inflation with Infinite Loss of Regularity for Periodic NLS Equations in Negative Sobolev Spaces
[Croissance de norme avec perte infinie de régularité pour les équations de Schrödinger périodiques en régularité négative]

Carles, Rémi ¹ ; Kappeler, Thomas ²

¹ Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck CNRS Univ. Montpellier
² Institut für Mathematik Universität Zürich Winterthurerstr. 190 CH-8057 Zürich

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 145 (2017) no. 4, pp. 623-642

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Abstract (VO)
Résumé

In this paper we consider Schrödinger equations with nonlinearities of odd order $2 σ + 1$ on $𝕋^{d}$ . We prove that for $σ d \geq 2$ , they are strongly illposed in the Sobolev space $H^{s}$ for any $s < 0$ , exhibiting norm-inflation with infinite loss of regularity. In the case of the one-dimensional cubic nonlinear Schrödinger equation and its renormalized version we prove such a result for $H^{s}$ with $s < - 2 / 3 .$

Nous considérons des équations de Schrödinger avec des non-linéarités d’ordre impair $2 σ + 1$ sur le tore $𝕋^{d}$ . Nous montrons que pour $σ d \geq 2$ , ces équations sont fortement mal posées dans l’espace de Sobolev $H^{s}$ pour tout $s < 0$ , avec en outre un phénomène de perte infinie de régularité. Dans le cas cubique mono-dimensionnel et sa version renormalisée, nous montrons le même résultat dans $H^{s}$ , sous l’hypothèse $s < - 2 / 3$ .

Reçu le : 2015-09-23
Accepté le : 2016-05-23
Publié le : 2017-09-04

MR Zbl

DOI : 10.24033/bsmf.2749

Classification : 35Q55, 35A01, 35B30, 81Q20
Keywords: Nonlinear Schrödinger equation, periodic case, well-posedness, loss of regularity, geometric optics, semi-classical analysis
Mots-clés : Équation de Schrödinger non linéaire, cas périodique, caractère bien posé, perte de régularité, optique géométrique, analyse semi-classique

Affiliations des auteurs :

Carles, Rémi ¹ ; Kappeler, Thomas ²

¹ Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck CNRS Univ. Montpellier
² Institut für Mathematik Universität Zürich Winterthurerstr. 190 CH-8057 Zürich

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TY  - JOUR
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JO  - Bulletin de la Société Mathématique de France
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Carles, Rémi; Kappeler, Thomas. Norm-inflation with Infinite Loss of Regularity for Periodic NLS Equations in Negative Sobolev Spaces. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 145 (2017) no. 4, pp. 623-642. doi: 10.24033/bsmf.2749

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