Hessian of the natural Hermitian form on twistor spaces

Deschamps, Guillaume; Le Du, Noël; Mourougane, Christophe

doi:10.24033/bsmf.2729

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Hessian of the natural Hermitian form on twistor spaces
[Hessien de la forme hermitienne naturelle sur des espaces de twisteurs]

Deschamps, Guillaume ¹ ; Le Du, Noël ² ; Mourougane, Christophe ²

¹ Laboratoire de Mathématiques de Bretagne Atlantique, LMBA / UMR 6205, 6 avenue Le Gorgeu, CS 93837, 29238 Brest Cedex 3
² Université Rennes 1, IRMAR / UFR Math, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes Cedex

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 145 (2017) no. 1, pp. 1-27

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Abstract (VO)
Résumé

We compute the hessian $id' d'' 𝕎$ of the natural Hermitian form $𝕎$ successively on the Calabi family $𝕋 (M, g, (I, J, K))$ of a hyperkähler manifold $(M, g, (I, J, K))$ , on the twistor space $𝕋 (M, g)$ of a $4$ -dimensional anti-self-dual Riemannian manifold $(M, g)$ and on the twistor space $𝕋 (M, g, D)$ of a quaternionic Kähler manifold $(M, g, D)$ . We show a strong convexity property of the component of cycle space of the Calabi family of a hyperkähler manifold, that contains twistor lines. We also prove convexity properties of the $1$ -cycle space of the twistor space $𝕋 (M, g)$ of a $4$ -dimensional anti-self-dual Einstein manifold $(M, g)$ of non-positive scalar curvature and of the $1$ -cycle space of the twistor space $𝕋 (M, g, D)$ of a quaternionic Kähler manifold $(M, g, D)$ of non-positive scalar curvature. We check that no non-Kähler strong Kähler with torsion ( $K T$ ) manifold occurs as such a twistor space.

Nous calculons le hessien $id' d'' 𝕎$ de la forme hermitienne naturelle $𝕎$ successivement sur la famille de Calabi $𝕋 (M, g, (I, J, K))$ d’une variété hyperkählérienne $(M, g, (I, J, K))$ , sur l’espace des twisteurs $𝕋 (M, g)$ d’une variété riemannienne $(M, g)$ de dimension $4$ anti-auto duale et sur l’espace des twisteurs $𝕋 (M, g, D)$ d’une variété quaternionique kähler $(M, g, D)$ . Nous montrons une propriété de convexité de la composante de l’espace des cycles de la famille de Calabi d’une variété hyperkählérienne, qui contient les droites twistorielles. Nous montrons aussi des propriétés de convexité de l’espace des $1$ -cycles de l’espace des twisteurs d’une variété d’Einstein de dimension $4$ anti-auto duale à courbure scalaire négative et de l’espace des $1$ -cycles de l’espace des twisteurs d’une variété quaternionique kähler à courbure scalaire négative. Nous vérifions aussi qu’aucune variété fortement kählerienne avec torsion ( $K T$ ) non kählérienne n’est obtenue par les constructions précédentes.

Reçu le : 2013-11-26
Révisé le : 2015-09-08
Accepté le : 2016-07-15
Publié le : 2017-09-04

DOI : 10.24033/bsmf.2729

Classification : 53C28, 53C26, 32Q45
Keywords: twistor space, 4-dimensional Riemannian manifold, quaternionic Kähler manifold, hyperkähler manifold, strong KT manifolds, Kobayashi Hyperbolicity

Affiliations des auteurs :

Deschamps, Guillaume ¹ ; Le Du, Noël ² ; Mourougane, Christophe ²

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TY  - JOUR
AU  - Deschamps, Guillaume
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AU  - Mourougane, Christophe
TI  - Hessian of the natural Hermitian form on twistor spaces
JO  - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY  - 2017
SP  - 1
EP  - 27
VL  - 145
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Deschamps, Guillaume; Le Du, Noël; Mourougane, Christophe. Hessian of the natural Hermitian form on twistor spaces. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 145 (2017) no. 1, pp. 1-27. doi: 10.24033/bsmf.2729

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