Répartition des fonctions complètement $Q$-additives le long des carrés de polynômes sur un corps fini

Car, Mireille; Mauduit, Christian

doi:10.24033/bsmf.2728

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Répartition des fonctions complètement

Q

-additives le long des carrés de polynômes sur un corps fini

Car, Mireille ; Mauduit, Christian

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 144 (2016) no. 4, pp. 775-817

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Résumé (VO)
Abstract

Soit $F$ un corps fini à $q$ éléments ( $q$ impair), $Q \in F [T]$ et $f$ une fonction complètement $Q$ -additive à valeurs entières. L'objet de ce travail est l'étude des sommes d'exponentielles $\sum_{\begin{matrix} X \in F [T] deg X < N \end{matrix}} exp (2 π i α f (X^{2}))$ pour $α \in ℝ$ . Nous en déduisons en particulier une condition nécessaire et suffisante portant sur $f$ pour que, pour tout $(a, m) \in ℕ \times ℕ^{*}$ , on ait $card {X \in 𝐀 ∣ deg X < N$ , $f (X^{2}) \equiv a (\mod m)} = \frac{q^{N}}{m} + O (q^{(1 - h) N})$ , avec $0 < h < 1$ .

Let $F$ be a finite field with $q$ elements ( $q$ odd), $Q \in F [T]$ and $f$ an integer valued completely $Q$ -additive function. The goal of this work is to study the exponential sums $\sum_{\begin{matrix} X \in F [T] deg X < N \end{matrix}} exp (2 π i α f (X^{2}))$ for $α \in ℝ$ . In particular, this study provides a necessary and sufficient condition on $f$ under which, for any $(a, m) \in ℕ \times ℕ^{*}$ , we have $card {X \in 𝐀 ∣ deg X < N$ , $f (X^{2}) \equiv a (\mod m)} = \frac{q^{N}}{m} + O (q^{(1 - h) N})$ , with $0 < h < 1$ .

Publié le : 2016-09-04

MR Zbl

DOI : 10.24033/bsmf.2728

Classification : 11T55
Mots-clés : Polynômes sur un corps fini, fonctions $Q$-additives, sommes d'exponentielles.
Keywords: Polynomials over a finite field, $Q$-additive functions, exponential sums.

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Car, Mireille; Mauduit, Christian. Répartition des fonctions complètement $Q$-additives le long des carrés de polynômes sur un corps fini. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 144 (2016) no. 4, pp. 775-817. doi: 10.24033/bsmf.2728

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