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We study the restricted volume of effective divisors, its properties and the relationship with the related notion of reduced volume, defined via multiplier ideals, and with the asymptotic intersection number. We build upon the fundamental work of Lazarsfeld and Mustăţa relating the restricted volume of big divisors to the volume of the associated Okounkov body. We extend their constructions and results to the case of effective divisors, recovering some results of Kaveh and Khovanskii, proving a Fujita-type approximation in this larger setting and studying the restricted volume function. In order to relate the reduced volume and the asymptotic intersection number we investigate a boundedness property of asymptotic multiplier ideals and prove it holds, for instance, for finitely generated divisors. In this way we obtain also a complete picture for the canonical divisor of an arbitrary smooth projective variety and for nef divisors on varieties of dimension at most 3.
Nous étudions le volume restreint de diviseurs effectifs, ses propriétés et la relation avec le volume réduit, défini en termes d'idéaux multiplicateurs, ainsi qu'avec le nombre d'intersection asymptotique. Nous nous basons sur le travail fondamental de Lazarsfeld et Mustăţa qui met en relation le volume restreint d'un diviseur gros avec le volume du corps d'Okounkov associé. Nous étendons leurs constructions et résultats au cas des diviseurs effectifs. Nous retrouvons en particulier certains résultats de Kaveh et Khovanskii, démontrons une approximation de Fujita dans ce cadre plus large et étudions la fonction volume restreint. Afin de relier le volume réduit et le nombre d'intersection asymptotique nous étudions une propriété d'encadrement des idéaux multiplicateurs asymptotiques et montrons qu'elle est valable, par exemple, dans le cas des diviseurs de type fini. De cette manière nous obtenons une description complète pour le diviseur canonique d'une variété lisse et projective quelconque et pour les diviseurs nef sur les variétés de dimension au plus 3.
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Biagio, Lorenzo Di; Pacienza, Gianluca. Restricted volumes of effective divisors. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 144 (2016) no. 2, pp. 299-337. doi: 10.24033/bsmf.2715
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