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We generalize the analysis of [14] and develop a singular pseudodifferential calculus. The symbols that we consider do not satisfy the standard decay with respect to the frequency variables. While in [14], the remainders in the symbolic calculus were seen to be merely bounded operators on , whose norm was measured with respect to some small parameter, we show here a smoothing property for the remainders. Due to a nonstandard decay in the frequency variables, the smoothing effect takes place in a scale of anisotropic, and singular, Sobolev spaces. Our analysis allows to extend the results of [14] on the existence of highly oscillatory solutions to nonlinear hyperbolic problems by dropping the compact support condition on the data. The results are also used in our companion works [[7], [9]] to justify nonlinear geometric optics with boundary amplification, which corresponds to a more singular regime than the one considered in [14]. The analysis is carried out with either an additional real or periodic variable in order to cover problems for pulses or wavetrains in nonlinear geometric optics.
Nous généralisons l'analyse de [14] et construisons un calcul pseudodifférentiel singulier pour des symboles ne vérifiant pas les hypothèses classiques de décroissance fréquentielle. Les résultats de [14] montraient que les restes du calcul symbolique étaient des opérateurs bornés sur , dont la norme d'opérateur était contrôlée par rapport à un petit paramètre. Nous démontrons ici un effet régularisant pour ces restes dans une échelle d'espaces de Sobolev anisotropes. Notre analyse permet d'étendre les résultats de [14] sur l'existence de solutions hautement oscillantes de problèmes hyperboliques non-linéaires en s'affranchissant de l'hypothèse de support compact des données. Nos résultats sont aussi utilisés dans les articles compagnons [[7], [9]] pour justifier un régime d'optique géométrique non-linéaire avec amplification sur le bord. L'analyse est menée ici avec une variable rapide réelle ou bien périodique de manière à traiter des problèmes d'optique géométrique pour des pulses ou des trains d'ondes.
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Coulombel, Jean-Francois; Guès, Olivier; Williams, Mark. Singular pseudodifferential calculus for wavetrains and pulses. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 142 (2014) no. 4, pp. 719-776. doi: 10.24033/bsmf.2677
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