Wandering Fatou Components and Algebraic Julia Sets

[Composantes de Fatou errantes et ensembles de Julia algébriques]

Trucco, Eugenio

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 142 (2014) no. 3, pp. 411-464

Abstract (VO)

We study the dynamics of polynomials with coefficients in a non-Archimedean field K, where K is a field containing a dense subset of algebraic elements over a discrete valued field k. We prove that every wandering Fatou component is contained in the basin of a periodic orbit. We obtain a complete description of the new Julia set points that appear when passing from K to the Berkovich affine line over K. We give a dynamical characterization of polynomials having algebraic Julia sets. More precisely, we establish that a polynomial with algebraic coefficients has algebraic Julia set if every critical element is nonrecurrent.

Résumé

Nous étudions la dynamique des polynômes à coefficients dans un corps K non-archimédien, où K contient un sous-ensemble dense d'éléments algébriques sur un corps k à valeurs discrètes. Nous montrons que toute composante de Fatou errante est contenue dans le bassin d'une orbite périodique. Nous obtenons une description complète des nouveaux points d'ensemble de Julia qui apparaissent quand on passe de K à la ligne de Berkovich affine sur K. Nous donnons une caractérisation dynamique des polynômes ayant des ensembles de Julia algébriques. Plus précisément, nous établissons qu'un polynôme à coefficients algébriques a un ensemble de Julia algébrique si tout élément critique est non-recurrent.

Détail

Publié le : 2014-09-04
DOI : 10.24033/bsmf.2670

Classification : 37P05, 37P40, 37P50
Keywords: Wandering Fatou Components, Berkovich Spaces, $p$-adic dynamics.
Mots-clés : Composantes de Fatou errantes, espaces de Berkovich, dynamique $p$-adique.