Multiplicités modulaires raffinées

Breuil, Christophe; Mézard, Ariane

doi:10.24033/bsmf.2661

Geodesic

Parcourir par

Multiplicités modulaires raffinées

Breuil, Christophe ; Mézard, Ariane

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 142 (2014) no. 1, pp. 127-175

Voir la notice de l'article provenant de la source Numdam

Résumé (VO)
Abstract

Soit $\bar{ρ} : Gal (\bar{ℚ_{p}} / ℚ_{p}) \to {GL}_{2} (\bar{𝔽_{p}})$ continue suffisamment générique. En utilisant la conjecture sur les multiplicités modulaires de [6] démontrée dans [16], on montre qu'il existe une bijection naturelle entre l'ensemble des composantes irréductibles de la fibre spéciale d'un anneau de déformations potentiellement semi-stables de $\bar{ρ}$ (à poids de Hodge-Tate et type galoisien fixés) et l'ensemble des poids de Serre de $\bar{ρ}$ distincts qui apparaissent dans la réduction modulo $p$ du type de Bushnell-Kutzko pour ${GL}_{2} (ℤ_{p})$ correspondant. Cette bijection préserve de plus les multiplicités respectives (de la composante irréductible dans son schéma ambiant, et du poids de Serre associé dans les constituants de la réduction modulo $p$ ). On conjecture que cela reste vrai en remplaçant $Gal (\bar{ℚ_{p}} / ℚ_{p})$ par $Gal (\bar{ℚ_{p}} / F)$ et ${GL}_{2} (ℤ_{p})$ par ${GL}_{2} (𝒪_{F})$ pour $F$ extension finie non ramifiée de $ℚ_{p}$ , et on donne une famille d'exemples non triviaux d'anneaux de déformations où c'est bien le cas.

Let $\bar{ρ} : Gal (\bar{ℚ_{p}} / ℚ_{p}) \to {GL}_{2} (\bar{𝔽_{p}})$ be continuous and sufficiently generic. Using the conjecture on modular multiplicities of [6] proved in [16], we show that there is a natural bijection between the set of irreducible components of the special fiber of a potentially semistable deformation ring of $\bar{ρ}$ (with fixed Hodge-Tate weights and Galois type) and the set of distinct Serre weights of $\bar{ρ}$ which appear in the reduction mod $p$ of the corresponding Bushnell-Kutzko type for ${GL}_{2} (ℤ_{p})$ . This bijection preserves respective multiplicities (of the irreducible component in its ambient scheme and of the associated Serre weight in the constituants of the reduction mod $p$ ). We conjecture that this remains true when replacing $Gal (\bar{ℚ_{p}} / ℚ_{p})$ by $Gal (\bar{ℚ_{p}} / F)$ and ${GL}_{2} (ℤ_{p})$ by ${GL}_{2} (𝒪_{F})$ for $F$ a finite unramified extension of $ℚ_{p}$ , and we give a family of non trivial examples of deformation rings when this holds.

Publié le : 2014-09-04

MR Zbl

DOI : 10.24033/bsmf.2661

Classification : 11F80, 11F85, 11S23
Mots-clés : Multiplicités modulaires, anneaux de déformations
Keywords: Modular multiplicities, bijection

@article{BSMF_2014__142_1_127_0,
     author = {Breuil, Christophe and M\'ezard, Ariane},
     title = {Multiplicit\'es modulaires raffin\'ees},
     journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     pages = {127--175},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {142},
     number = {1},
     year = {2014},
     doi = {10.24033/bsmf.2661},
     mrnumber = {3248725},
     zbl = {1311.11044},
     language = {fr},
     url = {http://geodesic.mathdoc.fr/articles/10.24033/bsmf.2661/}
}

TY  - JOUR
AU  - Breuil, Christophe
AU  - Mézard, Ariane
TI  - Multiplicités modulaires raffinées
JO  - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY  - 2014
SP  - 127
EP  - 175
VL  - 142
IS  - 1
PB  - Société mathématique de France
UR  - http://geodesic.mathdoc.fr/articles/10.24033/bsmf.2661/
DO  - 10.24033/bsmf.2661
LA  - fr
ID  - BSMF_2014__142_1_127_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Breuil, Christophe
%A Mézard, Ariane
%T Multiplicités modulaires raffinées
%J Bulletin de la Société Mathématique de France
%D 2014
%P 127-175
%V 142
%N 1
%I Société mathématique de France
%U http://geodesic.mathdoc.fr/articles/10.24033/bsmf.2661/
%R 10.24033/bsmf.2661
%G fr
%F BSMF_2014__142_1_127_0

Breuil, Christophe; Mézard, Ariane. Multiplicités modulaires raffinées. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 142 (2014) no. 1, pp. 127-175. doi: 10.24033/bsmf.2661

Cité par Sources :