Compactifications des espaces de configuration dans les schémas de Hilbert

Evain, Laurent

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 133 (2005) no. 4, pp. 497-539

Résumé (VO)

Soient $F(X,n)=X^n-\Delta$ le complémentaire de l’union $\Delta$ des diagonales dans $X^n$ et $U$ un quotient (éventuellement trivial) de $F(X,n)$ par un sous-groupe du groupe symétrique ${𝔖}_n$. Ce travail présente des procédés de compactification de $U$ dans des produits de schémas de Hilbert. Notre démarche généralise et unifie des constructions classiques dues à Schubert-Semple, LeBarz-Keel, Kleiman et Cheah. Une étude géométrique plus détaillée est faite pour les cas $n\le 3$. Cette étude inclut notamment une classification complète, la détermination des compactifications lisses, et la description des morphismes quotients par les actions naturelles.

Abstract

Let $F(X,n)=X^n-\Delta$ be the complement of the union $\Delta$ of the diagonals in $X^n$, and let $U$ be a quotient (possibly trivial) of $F(X,n)$ by a subgroup of the symmetric group ${𝔖}_n$. In this work, methods to compactify $U$ inside products of Hilbert Schemes are introduced. Our approach generalizes and unifies previous classical constructions by Schubert-Semple, LeBarz-Keel, Kleiman and Cheah. A more detailed geometrical study is done when $n\le 3$. This includes in particular a complete classification, the determination of the smooth models and a description of the quotient morphisms with respect to the natural actions.

Détail

DOI : 10.24033/bsmf.2495

Classification : 14C05
Mots-clés : compactification, espace de configuration, schéma de Hilbert
Keywords: compactification, configuration space, Hilbert scheme