Smooth Fourier multipliers   in group algebras via Sobolev dimension

González-Pérez, Adrián; Junge, Marius; Parcet, Javier

doi:10.24033/asens.2334

Geodesic

Parcourir par

Smooth Fourier multipliers in group algebras via Sobolev dimension
[Multiplicateurs de Fourier réguliers dans des algèbres de groupe par la dimension de Sobolev]

González-Pérez, Adrián ; Junge, Marius ; Parcet, Javier

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 50 (2017) no. 4, pp. 879-925.

Voir la notice de l'article provenant de la source Numdam

Abstract (VO)
Résumé

We investigate Fourier multipliers with smooth symbols defined over locally compact Hausdorff groups. Our main results in this paper establish new Hörmander-Mikhlin criteria for spectral and non-spectral multipliers. The key novelties which shape our approach are three. First, we control a broad class of Fourier multipliers by certain maximal operators in noncommutative $L_{p}$ spaces. This general principle—exploited in Euclidean harmonic analysis during the last 40 years—is of independent interest and might admit further applications. Second, we replace the formerly used cocycle dimension by the Sobolev dimension. This is based on a noncommutative form of the Sobolev embedding theory for Markov semigroups initiated by Varopoulos, and yields more flexibility to measure the smoothness of the symbol. Third, we introduce a dual notion of polynomial growth to further exploit our maximal principle for non-spectral Fourier multipliers. The combination of these ingredients yields new $L_{p}$ estimates for smooth Fourier multipliers in group algebras.

Nous étudions des multiplicateurs de Fourier à symboles réguliers sur des groupes localement compacts. De nouveaux critères de Hörmander-Mikhlin pour des multiplicateurs spectraux et non spectraux sont établis. Notre approche se base sur trois nouveaux résultats clés. Premièrement, nous utilisons certains opérateurs maximaux dans des espaces $L_{p}$ non commutatifs pour obtenir un contrôle sur de larges classes de multiplicateurs. Ce principe général — exploité en analyse harmonique euclidienne ces 40 dernières années — présente un intérêt indépendant et pourrait admettre de nouvelles applications. Deuxièmement, en établissant une version non commutative de la théorie de plongement de Sobolev pour les semigroupes de Markov initiée par Varopoulos, la dimension de cocycle utilisée auparavant est remplacée par la dimension de Sobolev. Ceci permet plus de flexibilité sur la régularité du symbole. Enfin, nous introduisons une notion duale de la croissance polynomiale pour exploiter davantage notre principe du maximum sur des multiplicateurs de Fourier non spectraux. La combinaison de ces ingrédients produit de nouvelles estimations $L_{p}$ pour des multiplicateurs de Fourier réguliers dans des algèbres de groupe.

MR Zbl

DOI : 10.24033/asens.2334

Classification : 42B15, 46L52, 47L25.
Keywords: Fourier multiplier, group von Neumann algebra, Sobolev dimension, Multiplicateur de Fourier, algèbre de von Neumann associée à un groupe, dimension de Sobolev.

@article{ASENS_2017__50_4_879_0,
     author = {Gonz\'alez-P\'erez, Adri\'an and Junge, Marius and Parcet, Javier},
     title = {Smooth {Fourier} multipliers   in group algebras via {Sobolev} dimension},
     journal = {Annales scientifiques de l'\'Ecole Normale Sup\'erieure},
     pages = {879--925},
     publisher = {Soci\'et\'e Math\'ematique de France. Tous droits r\'eserv\'es},
     volume = {Ser. 4, 50},
     number = {4},
     year = {2017},
     doi = {10.24033/asens.2334},
     mrnumber = {3679616},
     zbl = {1384.42010},
     language = {en},
     url = {http://geodesic.mathdoc.fr/articles/10.24033/asens.2334/}
}

TY  - JOUR
AU  - González-Pérez, Adrián
AU  - Junge, Marius
AU  - Parcet, Javier
TI  - Smooth Fourier multipliers   in group algebras via Sobolev dimension
JO  - Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure
PY  - 2017
SP  - 879
EP  - 925
VL  - 50
IS  - 4
PB  - Société Mathématique de France. Tous droits réservés
UR  - http://geodesic.mathdoc.fr/articles/10.24033/asens.2334/
DO  - 10.24033/asens.2334
LA  - en
ID  - ASENS_2017__50_4_879_0
ER  -

%0 Journal Article
%A González-Pérez, Adrián
%A Junge, Marius
%A Parcet, Javier
%T Smooth Fourier multipliers   in group algebras via Sobolev dimension
%J Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure
%D 2017
%P 879-925
%V 50
%N 4
%I Société Mathématique de France. Tous droits réservés
%U http://geodesic.mathdoc.fr/articles/10.24033/asens.2334/
%R 10.24033/asens.2334
%G en
%F ASENS_2017__50_4_879_0

González-Pérez, Adrián; Junge, Marius; Parcet, Javier. Smooth Fourier multipliers   in group algebras via Sobolev dimension. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 50 (2017) no. 4, pp. 879-925. doi : 10.24033/asens.2334. http://geodesic.mathdoc.fr/articles/10.24033/asens.2334/

Bibliographie
Cité par

Bekka, B.; de la Harpe, P.; Valette, A., New Mathematical Monographs, 11, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2008, 472 pages (ISBN: 978-0-521-88720-5) | MR | Zbl | DOI

Bennett, J. Optimal control of singular Fourier multipliers by maximal operators, Anal. PDE, Volume 7 (2014), pp. 1317-1338 (ISSN: 2157-5045) | MR | Zbl | DOI

Cherix, P.-A.; Cowling, M.; Jolissaint, P.; Julg, P.; Valette, A., Progress in Math., 197, Birkhäuser, 2001, 126 pages (ISBN: 3-7643-6598-6) | MR | Zbl | DOI

Connes, A. A factor not anti-isomorphic to itself, Ann. Math., Volume 101 (1975), pp. 536-554 | MR | Zbl | DOI

Cowling, M. G. Harmonic analysis on semigroups, Ann. of Math., Volume 117 (1983), pp. 267-283 (ISSN: 0003-486X) | MR | Zbl | DOI

Caspers, M.; Parcet, J.; Perrin, M.; Ricard, É. Noncommutative de Leeuw theorems, Forum Math. Sigma, Volume 3 (2015) (ISSN: 2050-5094) | MR | Zbl | DOI

Davies, E. B. Uniformly elliptic operators with measurable coefficients, J. Funct. Anal., Volume 132 (1995), pp. 141-169 (ISSN: 0022-1236) | MR | Zbl | DOI

Effros, E. G.; Ruan, Z.-J., London Mathematical Society Monographs. New Series, 23, The Clarendon Press, Oxford Univ. Press, New York, 2000, 363 pages (ISBN: 0-19-853482-5) | MR | Zbl

Folland, G. B., Studies in Advanced Math., CRC Press, Boca Raton, FL, 1995, 276 pages (ISBN: 0-8493-8490-7) | MR | Zbl

Fukushima, M.; Oshima, Y.; Takeda, M., De Gruyter Studies in Mathematics, 19, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2011, 489 pages (ISBN: 978-3-11-021808-4) | MR | Zbl

Haagerup, U. An example of a nonnuclear $C^{*}$ -algebra, which has the metric approximation property, Invent. math., Volume 50 (1978/79), pp. 279-293 (ISSN: 0020-9910) | MR | Zbl | DOI

Haagerup, U. Operator-valued weights in von Neumann algebras. I, J. Funct. Anal., Volume 32 (1979), pp. 175-206 (ISSN: 0022-1236) | MR | Zbl | DOI

Haagerup, U. Operator-valued weights in von Neumann algebras. II, J. Funct. Anal., Volume 33 (1979), pp. 339-361 (ISSN: 0022-1236) | MR | Zbl | DOI

Herz, C. Problems of extrapolation and spectral synthesis on groups, Conference on Harmonic Analysis (Univ. Maryland, College Park, Md., 1971) (Lecture Notes in Math.), Volume 266, Springer, Berlin (1972), pp. 157-166 | MR | Zbl | DOI

Junge, M.; Le Merdy, C.; Xu, Q. $H^{\infty}$ functional calculus and square functions on noncommutative $L^{p}$ -spaces, Astérisque, Volume 305 (2006) (ISSN: 0303-1179) | MR | Zbl | mathdoc-id

Junge, M.; Mei, T. Noncommutative Riesz transforms—a probabilistic approach, Amer. J. Math., Volume 132 (2010), pp. 611-680 (ISSN: 0002-9327) | MR | Zbl | DOI

Junge, M.; Mei, T.; Parcet, J. Noncommutative Riesz transforms—Dimension free bounds and Fourier multipliers (preprint arXiv:1407.2475 ) | MR

Junge, M.; Mei, T.; Parcet, J. Smooth Fourier multipliers on group von Neumann algebras, Geom. Funct. Anal., Volume 24 (2014), pp. 1913-1980 (ISSN: 1016-443X) | MR | Zbl | DOI

Junge, M.; Parcet, J. Mixed-norm inequalities and operator space $L_{p}$ embedding theory, Mem. Amer. Math. Soc., Volume 203 (2010) (ISBN: 978-0-8218-4655-1, ISSN: 0065-9266) | MR | Zbl | DOI

Junge, M.; Ruan, Z.-J. Approximation properties for noncommutative $L_{p}$ -spaces associated with discrete groups, Duke Math. J., Volume 117 (2003), pp. 313-341 (ISSN: 0012-7094) | MR | Zbl | DOI

Junge, M. Doob's inequality for non-commutative martingales, J. reine angew. Math., Volume 549 (2002), pp. 149-190 (ISSN: 0075-4102) | MR | Zbl | DOI

Junge, M.; Xu, Q. Noncommutative Burkholder/Rosenthal inequalities, Ann. Probab., Volume 31 (2003), pp. 948-995 (ISSN: 0091-1798) | MR | Zbl | DOI

Junge, M.; Xu, Q. Noncommutative maximal ergodic theorems, J. Amer. Math. Soc., Volume 20 (2007), pp. 385-439 (ISSN: 0894-0347) | MR | Zbl | DOI

Kadison, R. V.; Ringrose, J. R., Graduate Studies in Math., 15, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997, 398 pages (ISBN: 0-8218-0819-2) | MR | Zbl

Lance, E. C., London Mathematical Society Lecture Note Series, 210, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995, 130 pages (ISBN: 0-521-47910-X) | MR | Zbl | DOI

Lafforgue, V.; De la Salle, M. Noncommutative $L^{p}$ -spaces without the completely bounded approximation property, Duke Math. J., Volume 160 (2011), pp. 71-116 (ISSN: 0012-7094) | MR | Zbl | DOI

Lust-Piquard, F.; Pisier, G. Noncommutative Khintchine and Paley inequalities, Ark. Mat., Volume 29 (1991), pp. 241-260 (ISSN: 0004-2080) | MR | Zbl | DOI

Lust-Piquard, F. Inégalités de Khintchine dans $C_{p} (1 < p < \infty)$ , C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., Volume 303 (1986), pp. 289-292 (ISSN: 0249-6291) | MR | Zbl

Meyer, P. A. L'opérateur carré du champ, Séminaire de Probabilités, X (Première partie, Univ. Strasbourg, Strasbourg, année universitaire 1974/1975) (Lecture Notes in Math.), Volume 511, Springer (1976), pp. 142-161 | MR | mathdoc-id | Zbl | DOI

Paulsen, V., Cambridge Studies in Advanced Math., 78, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002, 300 pages (ISBN: 0-521-81669-6) | MR | Zbl

Pisier, G., London Mathematical Society Lecture Note Series, 294, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2003, 478 pages (ISBN: 0-521-81165-1) | MR | Zbl | DOI

Pisier, G. Non-commutative vector valued $L_{p}$ -spaces and completely $p$ -summing maps, Astérisque, Volume 247 (1998) (ISSN: 0303-1179) | MR | Zbl | mathdoc-id

Pisier, G.; Xu, Q., Handbook of the geometry of Banach spaces, Vol. 2, North-Holland, Amsterdam, 2003, pp. 1459-1517 | MR | Zbl | DOI

Saloff-Coste, L., Sobolev spaces in mathematics. I (Int. Math. Ser.), Volume 8, Springer, 2009, pp. 299-343 | MR | Zbl | DOI

Sikora, A. Riesz transform, Gaussian bounds and the method of wave equation, Math. Z., Volume 247 (2004), pp. 643-662 (ISSN: 0025-5874) | MR | Zbl | DOI

Sikora, A. Sharp pointwise estimates on heat kernels, Quart. J. Math. Oxford Ser., Volume 47 (1996), pp. 371-382 (ISSN: 0033-5606) | MR | Zbl | DOI

Stein, E. M., Princeton Mathematical Series, No. 30, Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1970, 290 pages | MR | Zbl

Stein, E. M., Annals of Math. Studies, No. 63, Princeton Univ. Press, Princeton, N.J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1970, 146 pages | MR | Zbl

Takesaki, M., Encyclopaedia of Math. Sciences, 125, Springer, Berlin, 2003, 518 pages (ISBN: 3-540-42914-X) | MR | Zbl | DOI

Takesaki, M., Springer, New York-Heidelberg, 1979, 415 pages (ISBN: 0-387-90391-7) | MR | Zbl

Thinh Duong, X.; Ouhabaz, E. M.; Sikora, A. Plancherel-type estimates and sharp spectral multipliers, J. Funct. Anal., Volume 196 (2002), pp. 443-485 (ISSN: 0022-1236) | MR | Zbl | DOI

Varopoulos, N. T. Hardy-Littlewood theory for semigroups, J. Funct. Anal., Volume 63 (1985), pp. 240-260 (ISSN: 0022-1236) | MR | Zbl | DOI

Varopoulos, N. T.; Saloff-Coste, L.; Coulhon, T., Cambridge Tracts in Mathematics, 100, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1992, 156 pages (ISBN: 0-521-35382-3) | MR | Zbl

Cité par Sources :