O-minimality on twisted universal torsors and Manin's conjecture over number fields

Frei, Christopher; Pieropan, Marta

doi:10.24033/asens.2295

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O-minimality on twisted universal torsors and Manin's conjecture over number fields
[O-minimalité sur torseurs universels tordus et conjecture de Manin sur corps de nombres]

Frei, Christopher ; Pieropan, Marta

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 49 (2016) no. 4, pp. 757-811.

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Abstract (VO)
Résumé

Manin's conjecture predicts the distribution of rational points on Fano varieties. Using explicit parameterizations of rational points by integral points on universal torsors and lattice-point-counting techniques, it was proved for several specific varieties over $ℚ$ , in particular del Pezzo surfaces. We show how this method can be implemented over arbitrary number fields, by proving Manin's conjecture for a singular quartic del Pezzo surface of type $𝐀_{3} + 𝐀_{1}$ . The parameterization step is treated in high generality with the help of twisted integral models of universal torsors. To make the counting step feasible over arbitrary number fields, we deviate from the usual approach over $ℚ$ by placing higher emphasis on the geometry of numbers in the framework of o-minimal structures.

La conjecture de Manin prédit la répartition des points rationnels sur les variétés de Fano. Elle a été vérifiée pour plusieurs variétés sur $ℚ$ , en particulier certaines surfaces de del Pezzo, en utilisant des paramétrisations explicites des points rationnels par des points entiers sur des torseurs universels et des techniques de comptage de points de réseaux. On montre comment on peut appliquer cette méthode sur les corps de nombres quelconques, en démontrant la conjecture de Manin pour une surface de del Pezzo singulière de degré quatre et de type $𝐀_{3} + 𝐀_{1}$ . La paramétrisation est présentée d'un point de vue général qui utilise des modèles entiers tordus de torseurs universels. Pour rendre possible le comptage sur les corps de nombres, on dévie de la procédure usuelle sur $ℚ$ en mettant l'accent sur la géométrie des nombres dans le cadre des structures o-minimales.

Publié le : 2016-05-27

MR Zbl

DOI : 10.24033/asens.2295

Classification : 11D45; 14G05.
Keywords: Rational points, Manin's conjecture, o-minimality, universal torsor.
Mots-clés : Points rationnels, conjecture de Manin, o-minimalité, torseur universel.

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Frei, Christopher; Pieropan, Marta. O-minimality on twisted universal torsors and Manin's conjecture over number fields. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 49 (2016) no. 4, pp. 757-811. doi : 10.24033/asens.2295. http://geodesic.mathdoc.fr/articles/10.24033/asens.2295/

Bibliographie
Cité par

Arzhantsev, I.; Derenthal, U.; Hausen, J.; Laface, A., Cambridge Studies in Advanced Math., 144, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2015, 530 pages (ISBN: 978-1-107-02462-5) | MR | Zbl

Baier, S.; Browning, T. D. Inhomogeneous cubic congruences and rational points on del Pezzo surfaces, J. reine angew. Math., Volume 680 (2013), pp. 69-151 (ISSN: 0075-4102) | MR | Zbl | DOI

Blomer, V.; Brüdern, J.; Salberger, P. On a certain senary cubic form, Proc. Lond. Math. Soc., Volume 108 (2014), pp. 911-964 (ISSN: 0024-6115) | MR | Zbl | DOI

Batyrev, V. V.; Manin, Y. I. Sur le nombre des points rationnels de hauteur bornée des variétés algébriques, Math. Ann., Volume 286 (1990), pp. 27-43 (ISSN: 0025-5831) | MR | Zbl | DOI

Bourqui, D. Comptage de courbes sur le plan projectif éclaté en trois points alignés, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Volume 59 (2009), pp. 1847-1895 http://aif.cedram.org/... (ISSN: 0373-0956) | MR | Zbl | mathdoc-id | DOI

Bourqui, D. La conjecture de Manin géométrique pour une famille de quadriques intrinsèques, Manuscripta Math., Volume 135 (2011), pp. 1-41 (ISSN: 0025-2611) | MR | Zbl | DOI

Bourqui, D. Exemples de comptages de courbes sur les surfaces, Math. Ann., Volume 357 (2013), pp. 1291-1327 (ISSN: 0025-5831) | MR | Zbl | DOI

Batyrev, V. V.; Tschinkel, Y. Manin's conjecture for toric varieties, J. Algebraic Geom., Volume 7 (1998), pp. 15-53 (ISSN: 1056-3911) | MR | Zbl

Batyrev, V. V.; Tschinkel, Y. Tamagawa numbers of polarized algebraic varieties, Astérisque, Volume 251 (1998), pp. 299-340 (ISSN: 0303-1179) | MR | mathdoc-id | Zbl

Barroero, F.; Widmer, M. Counting lattice points and O-minimal structures, Int. Math. Res. Not., Volume 2014 (2014), pp. 4932-4957 (ISSN: 1073-7928) | MR | Zbl | DOI

Chambert-Loir, A.; Tschinkel, Y. On the distribution of points of bounded height on equivariant compactifications of vector groups, Invent. math., Volume 148 (2002), pp. 421-452 (ISSN: 0020-9910) | MR | Zbl | DOI

Colliot-Thélène, J.-L.; Sansuc, J.-J. Torseurs sous des groupes de type multiplicatif; applications à l'étude des points rationnels de certaines variétés algébriques, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B, Volume 282 (1976), pp. 1113-1116 | MR | Zbl

Colliot-Thélène, J.-L.; Sansuc, J.-J. La descente sur les variétés rationnelles. II, Duke Math. J., Volume 54 (1987), pp. 375-492 (ISSN: 0012-7094) | MR | Zbl | DOI

Davenport, H. On a principle of Lipschitz, J. London Math. Soc., Volume 26 (1951), pp. 179-183 (ISSN: 0024-6107) | MR | Zbl | DOI

Derenthal, U. On a constant arising in Manin's conjecture for del Pezzo surfaces, Math. Res. Lett., Volume 14 (2007), pp. 481-489 (ISSN: 1073-2780) | MR | Zbl | DOI

Derenthal, U. Counting integral points on universal torsors, Int. Math. Res. Not., Volume 2009 (2009), pp. 2648-2699 (ISSN: 1073-7928) | MR | Zbl | DOI

Derenthal, U. Singular del Pezzo surfaces whose universal torsors are hypersurfaces, Proc. Lond. Math. Soc., Volume 108 (2014), pp. 638-681 (ISSN: 0024-6115) | MR | Zbl | DOI

Derenthal, U.; Frei, C. Counting imaginary quadratic points via universal torsors, II, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., Volume 156 (2014), pp. 383-407 (ISSN: 0305-0041) | MR | Zbl | DOI

Derenthal, U.; Frei, C. Counting imaginary quadratic points via universal torsors, Compos. Math., Volume 150 (2014), pp. 1631-1678 (ISSN: 0010-437X) | MR | Zbl | DOI

Derenthal, U.; Frei, C. On Manin's conjecture for a certain singular cubic surface over imaginary quadratic fields, Int. Math. Res. Not., Volume 2015 (2015), pp. 2728-2750 (ISSN: 1073-7928) | MR | Zbl | DOI

Derenthal, U.; Joyce, M.; Teitler, Z. The nef cone volume of generalized del Pezzo surfaces, Algebra Number Theory, Volume 2 (2008), pp. 157-182 (ISSN: 1937-0652) | MR | Zbl | DOI

Derenthal, U.; Loughran, D. Singular del Pezzo surfaces that are equivariant compactifications, Zap. Nauchn. Sem. S.-Peterburg. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (POMI), Volume 377 (2010), pp. 26-43 (ISSN: 0373-2703) | MR | Zbl | DOI

de la Bretèche, R. Nombre de points de hauteur bornée sur les surfaces de del Pezzo de degré 5, Duke Math. J., Volume 113 (2002), pp. 421-464 (ISSN: 0012-7094) | MR | Zbl | DOI

de la Bretèche, R.; Browning, T. D. On Manin's conjecture for singular del Pezzo surfaces of degree four. II, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., Volume 143 (2007), pp. 579-605 (ISSN: 0305-0041) | MR | Zbl | DOI

de la Bretèche, R.; Browning, T. D.; Derenthal, U. On Manin's conjecture for a certain singular cubic surface, Ann. Sci. École Norm. Sup., Volume 40 (2007), pp. 1-50 (ISSN: 0012-9593) | MR | Zbl | mathdoc-id | DOI

de la Bretèche, R.; Browning, T.; Peyre, E. On Manin's conjecture for a family of Châtelet surfaces, Ann. of Math., Volume 175 (2012), pp. 297-343 (ISSN: 0003-486X) | MR | Zbl | DOI

Dolgachev, I. V., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2012, 639 pages (ISBN: 978-1-107-01765-8) | MR | Zbl | DOI

Franke, J.; Manin, Y. I.; Tschinkel, Y. Rational points of bounded height on Fano varieties, Invent. math., Volume 95 (1989), pp. 421-435 (ISSN: 0020-9910) | MR | Zbl | DOI

Frei, C. Counting rational points over number fields on a singular cubic surface, Algebra Number Theory, Volume 7 (2013), pp. 1451-1479 (ISSN: 1937-0652) | MR | Zbl | DOI

Fulton, W., Annals of Math. Studies, 131, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1993, 157 pages (ISBN: 0-691-00049-2) | MR | Zbl

Grothendieck, A. Éléments de géométrie algébrique. II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes, Publ. Math. IHÉS, Volume 8 (1961) (ISSN: 0073-8301) | MR | mathdoc-id

Grothendieck, A. Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. III, Publ. Math. IHÉS, Volume 28 (1966) (ISSN: 0073-8301) | MR | Zbl | mathdoc-id

Grothendieck, A. Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas IV, Publ. Math. IHÉS, Volume 32 (1967) (ISSN: 0073-8301) | MR | Zbl | mathdoc-id

Görtz, U.; Wedhorn, T., Advanced Lectures in Mathematics, Vieweg/Teubner, Wiesbaden, 2010, 615 pages (ISBN: 978-3-8348-0676-5) | MR | Zbl | DOI

Hartshorne, R., Graduate Texts in Math., 52, Springer, New York-Heidelberg, 1977, 496 pages (ISBN: 0-387-90244-9) | MR | Zbl

Hausen, J., Torsors, étale homotopy and applications to rational points (London Math. Soc. Lecture Note Ser.), Volume 405, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2013, pp. 3-60 | MR | Zbl | DOI

Hausen, J.; Keicher, S.; Laface, A. Computing Cox rings, Math. Comp., Volume 85 (2016), pp. 467-502 (ISSN: 0025-5718) | MR | Zbl | DOI

Lang, S., Graduate Texts in Math., 110, Springer, New York, 1994, 357 pages (ISBN: 0-387-94225-4) | MR | Zbl | DOI

Liu, Q., Oxford Graduate Texts in Math., 6, Oxford Univ. Press, Oxford, 2002, 576 pages (ISBN: 0-19-850284-2) | MR | Zbl

Loughran, D. Rational points of bounded height and the Weil restriction, Israel J. Math., Volume 210 (2015), pp. 47-79 (ISSN: 0021-2172) | MR | Zbl | DOI

Milne, J. S., Princeton Mathematical Series, 33, Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1980, 323 pages (ISBN: 0-691-08238-3) | MR | Zbl

Masser, D.; Vaaler, J. D. Counting algebraic numbers with large height. II, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 359 (2007), pp. 427-445 (ISSN: 0002-9947) | MR | Zbl | DOI

Peyre, E. Points de hauteur bornée, topologie adélique et mesures de Tamagawa, J. Théor. Nombres Bordeaux, Volume 15 (2003), pp. 319-349 http://jtnb.cedram.org/... (ISSN: 1246-7405) | MR | Zbl | mathdoc-id | DOI

Peyre, E. Hauteurs et mesures de Tamagawa sur les variétés de Fano, Duke Math. J., Volume 79 (1995), pp. 101-218 (ISSN: 0012-7094) | MR | Zbl | DOI

Peyre, E. Terme principal de la fonction zêta des hauteurs et torseurs universels, Astérisque, Volume 251 (1998), pp. 259-298 (ISSN: 0303-1179) | MR | mathdoc-id | Zbl

Pirutka, A. $R$ -équivalence sur les familles de variétés rationnelles et méthode de la descente, J. Théor. Nombres Bordeaux, Volume 24 (2012), pp. 461-473 http://jtnb.cedram.org/... (ISSN: 1246-7405) | MR | Zbl | mathdoc-id | DOI

Pila, J.; Wilkie, A. J. The rational points of a definable set, Duke Math. J., Volume 133 (2006), pp. 591-616 (ISSN: 0012-7094) | MR | Zbl | DOI

Robbiani, M. On the arithmetic of isotropic del Pezzo surfaces of degree six, J. reine angew. Math., Volume 503 (1998), pp. 1-45 (ISSN: 0075-4102) | MR | Zbl | DOI

Salberger, P. Tamagawa measures on universal torsors and points of bounded height on Fano varieties, Astérisque, Volume 251 (1998), pp. 91-258 (ISSN: 0303-1179) | MR | Zbl | mathdoc-id

Schanuel, S. H. Heights in number fields, Bull. Soc. Math. France, Volume 107 (1979), pp. 433-449 (ISSN: 0037-9484) | MR | Zbl | mathdoc-id | DOI

Skorobogatov, A., Cambridge Tracts in Mathematics, 144, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2001, 187 pages (ISBN: 0-521-80237-7) | MR | Zbl | DOI

Tanimoto, S.; Tschinkel, Y., Zeta functions in algebra and geometry (Contemp. Math.), Volume 566, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2012, pp. 119-157 | MR | Zbl | DOI

Wilkie, A. J. o-minimal structures, Séminaire Bourbaki, vol. 2007/2008, exp. n^o 985, Astérisque, Volume 326 (2009), pp. 131-142 | MR | Zbl | mathdoc-id

Wilkie, A. J. Model completeness results for expansions of the ordered field of real numbers by restricted Pfaffian functions and the exponential function, J. Amer. Math. Soc., Volume 9 (1996), pp. 1051-1094 (ISSN: 0894-0347) | MR | Zbl | DOI

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