Transforming metrics on a line bundle to the Okounkov body

[Transformation des métriques sur un fibré en droite pour le corps d'Okounkov]

Witt Nyström, David

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 47 (2014) no. 6, pp. 1111-1161.

Abstract (VO)

Let L be a big holomorphic line bundle on a complex projective manifold X. We show how to associate a convex function on the Okounkov body of L to any continuous metric ψ on L. We will call this the Chebyshev transform of ψ, denoted by c[ψ]. Our main theorem states that the difference of metric volume of L with respect to two metrics, a notion introduced by Berman-Boucksom, is equal to the integral over the Okounkov body of the difference of the Chebyshev transforms of themetrics. When the metrics have positive curvature the metric volume coincides with the Monge-Ampère energy, which is a well-known functional in Kähler-Einstein geometry and Arakelov geometry. We show that this can be seen as a generalization of classical results on Chebyshev constants and the Legendre transform of invariant metrics on toric manifolds. As an application we prove the differentiability of the metric volume in the cone of big metrized ℝ-divisors. This generalizes the result of Boucksom-Favre-Jonsson on the differentiability of the ordinary volume of big ℝ-divisors and the result of Berman-Boucksom on the differentiability of the metric volume when the underlying line bundle is fixed.

Résumé

Soit L un fibré en droite holomorphe gros sur une variété complexe X, projective et lisse. Nous montrons comment associer une fonction convexe sur le corps d'Okounkov de L à chaque métrique continue ψ sur L. Nous l'appelons la transformée de Chebyshev de ψ, désignée par c[ψ]. Notre théorème principal affirme que la différence des volumes métriques de L par rapport à deux métriques, une notion introduite par Berman-Boucksom, s'écrit comme une intégrale de la différence des transformations de Chebyshev des métriques. Quand les métriques sont de courbure positive, le volume métrique coïncide avec l'énergie de Monge-Ampère, qui est une fonctionnelle bien connue dans la géométrie de Kähler-Einstein et la géométrie d'Arakelov. On démontre que ceci peut être considéré comme une généralisation des résultats classiques sur les constantes de Chebyshev et la transformation de Legendre des métriques invariantes sur des variétés toriques. En guise d'application, on démontre la différentiabilité du volume métrique dans le cône des gros ℝ-diviseurs métrisés. Ceci généralise le résultat de Boucksom-Favre-Jonsson sur la différentiabilité du volume ordinaire des ℝ-diviseurs gros et le résultat de Berman-Boucksom sur la différentiabilité du volume métrique quand le fibré L est fixe.

Détail

Publié le : 2014-05-27
DOI : 10.24033/asens.2235

Classification : 32W20, 32Q15, 32U20.
Keywords: Projective manifolds, Okounkov bodies, transforms of metrics.
Mots-clés : Variétés projectives, corps d'Okounkov, transformations des métriques.

Bibliographie

Berman, R.; Boucksom, S. Growth of balls of holomorphic sections and energy at equilibrium, Invent. Math., Volume 181 (2010), pp. 337-394 (ISSN: 0020-9910) | MR | Zbl | DOI

Berman, R.; Boucksom, S.; Witt Nyström, D. Fekete points and convergence towards equilibrium measures on complex manifolds, Acta Math., Volume 207 (2011), pp. 1-27 (ISSN: 0001-5962) | MR | Zbl | DOI

Boucksom, S.; Chen, H. Okounkov bodies of filtered linear series, Compos. Math., Volume 147 (2011), pp. 1205-1229 (ISSN: 0010-437X) | MR | Zbl | DOI

Boucksom, S.; Eyssidieux, P.; Guedj, V.; Zeriahi, A. Monge-Ampère equations in big cohomology classes, Acta Math., Volume 205 (2010), pp. 199-262 (ISSN: 0001-5962) | MR | Zbl | DOI

Boucksom, S.; Favre, C.; Jonsson, M. Differentiability of volumes of divisors and a problem of Teissier, J. Algebraic Geom., Volume 18 (2009), pp. 279-308 (ISSN: 1056-3911) | MR | Zbl | DOI

Bloom, T.; Levenberg, N. Transfinite diameter notions in ℂN and integrals of Vandermonde determinants, Ark. Mat., Volume 48 (2010), pp. 17-40 (ISSN: 0004-2080) | MR | Zbl | DOI

Demailly, J.-P. Complex analytic and differential geometry (2012) (book, http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/agbook.pdf )

Hisamoto, T. Restricted Bergman kernel asymptotics, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 364 (2012), pp. 3585-3607 (ISSN: 0002-9947) | MR | Zbl | DOI

Khovanskii, A. The Newton polytope, the Hilbert polynomial and sums of finite sets, Funktsional. Anal. i Prilozhen., Volume 26 (1992), pp. 57-63 ; translation: Funct. Anal. Appl. 26 (1993), 331–348 (ISSN: 0374-1990) | MR | Zbl | DOI

Kaveh, K.; Khovanskii, A. Convex bodies and algebraic equations on affine varietes (preprint arXiv:math/0804.4095 )

Kaveh, K.; Khovanskii, A., Perspectives in analysis, geometry, and topology (Progr. Math.), Volume 296, Birkhäuser, 2012, pp. 263-282 | MR | Zbl | DOI

Lazarsfeld, R.; Mustaţă, M. Convex bodies associated to linear series, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 42 (2009), pp. 783-835 (ISSN: 0012-9593) | MR | Zbl | mathdoc-id | DOI

Okounkov, A., The orbit method in geometry and physics (Marseille, 2000) (Progr. Math.), Volume 213, Birkhäuser, 2003, pp. 329-347 | MR | Zbl | DOI

Okounkov, A. Brunn-Minkowski inequality for multiplicities, Invent. Math., Volume 125 (1996), pp. 405-411 (ISSN: 0020-9910) | MR | Zbl | DOI

Rumely, R.; Lau, C. F.; Varley, R. Existence of the sectional capacity, Mem. Amer. Math. Soc., Volume 145 (2000) (ISSN: 0065-9266) | MR | Zbl | DOI

Saff, E. B.; Totik, V., Grundl. Math. Wiss., 316, Springer, Berlin, 1997, 505 pages (ISBN: 3-540-57078-0) | MR | Zbl | DOI

Yuan, X. On volumes of arithmetic line bundles (preprint arXiv:0909.3680 ) | MR | Zbl

Yuan, X. On volumes of arithmetic line bundles II, Compos. Math., Volume 145 (2009), pp. 1447-1464 (ISSN: 0010-437X) | MR | Zbl | DOI

Zaharjuta, V. P. Transfinite diameter, Chebyshev constants, and capacity for compacts in ℂn , Math. USSR Sbornik, Volume 25 (1975), pp. 350-364 | Zbl | MR | DOI