Lagrangian fibrations on hyperkähler manifolds - On a question of Beauville

[Fibrations lagrangiennes sur les variétés hyperkähleriennes - Sur une question de Beauville]

Greb, Daniel ; Lehn, Christian ; Rollenske, Sönke

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 46 (2013) no. 3, pp. 375-403

Abstract (VO)

Let $X$ be a compact hyperkähler manifold containing a complex torus $L$ as a Lagrangian subvariety. Beauville posed the question whether $X$ admits a Lagrangian fibration with fibre $L$. We show that this is indeed the case if $X$ is not projective. If $X$ is projective we find an almost holomorphic Lagrangian fibration with fibre $L$ under additional assumptions on the pair $(X,L)$, which can be formulated in topological or deformation-theoretic terms. Moreover, we show that for any such almost holomorphic Lagrangian fibration there exists a smooth good minimal model, i.e., a hyperkähler manifold birational to $X$ on which the fibration is holomorphic.

Résumé

Soit $X$ une variété hyperkählérienne compacte contenant un tore complexe $L$ en tant que sous-variété lagrangienne. A. Beauville a posé la question suivante : la variété $X$ admet-elle une fibration lagrangienne de fibre $L$ ? Nous démontrons que c’est le cas si $X$ n’est pas projective. Si $X$ est projective nous montrons l’existence d’une fibration lagrangienne presque holomorphe de fibre $L$ sous des hypothèses plus restrictives sur la paire $(X,L)$. Ces hypothèses peuvent se formuler de deux manières : en termes topologiques ou grâce à la théorie des déformations de $(X,L)$. Par ailleurs, nous démontrons que pour une telle fibration lagrangienne presque holomorphe il y a toujours un bon modèle minimal lisse, c’est-à-dire une variété hyperkählérienne birationelle à $X$ sur laquelle la fibration est holomorphe.

Détail

DOI : 10.24033/asens.2191

Classification : 53C26, 14D06, 14E30, 32G10, 32G05
Keywords: hyperkähler manifold, lagrangian fibration
Mots-clés : variété hyperkählérienne, fibration lagrangienne