Hodge-Tate and de Rham representations in the imperfect residue field case

[Représentations de Hodge-Tate et de de Rham dans le cas d'un corps résiduel imparfait]

Morita, Kazuma

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 43 (2010) no. 2, pp. 341-355

Abstract (VO)

Let $K$ be a $p$-adic local field with residue field $k$ such that $[k:k^p]=p^e<+\infty$ and $V$ be a $p$-adic representation of $\text{Gal}(\overline{K}/K)$. Then, by using the theory of $p$-adic differential modules, we show that $V$ is a Hodge-Tate (resp. de Rham) representation of $\text{Gal}(\overline{K}/K)$ if and only if $V$ is a Hodge-Tate (resp. de Rham) representation of $\text{Gal}(\overline{K^{\text{pf}}}/K^{\text{pf}})$ where $K^{\text{pf}}/K$ is a certain $p$-adic local field with residue field the smallest perfect field $k^{\text{pf}}$ containing $k$.

Résumé

Soit $K$ un corps local $p$-adique de corps résiduel $k$ tel que $[k:k^p]=p^e<+\infty$ et soit $V$ une représentation $p$-adique de $\text{Gal}(\overline{K}/K)$. Nous utilisons la théorie des modules différentiels $p$-adiques pour montrer que $V$ est une représentation de Hodge-Tate (resp. de Rham) de $\text{Gal}(\overline{K}/K)$ si et seulement si $V$ est une représentation de Hodge-Tate (resp. de Rham) de $\text{Gal}(\overline{K^{\text{pf}}}/K^{\text{pf}})$ où $K^{\text{pf}}/K$ est un certain corps local $p$-adique de corps résiduel le plus petit corps parfait $k^{\text{pf}}$ contenant $k$.

Détail

DOI : 10.24033/asens.2122

Classification : 11F80, 12H25, 14F30
Keywords: $p$-adic Galois representation, $p$-adic cohomology, $p$-adic differential equation
Mots-clés : représentation galoisienne $p$-adique, cohomologie $p$-adique, équation différentielle $p$-adique