Artykuł przedstawia koncepcję i wstępne efekty projektu rozwojowo-badawczego prowadzonego w klasie siódmej w szkole indonezyjskiej na wyspie Sumba. Celem projektu jest wspieranie uczniów w rozwoju rozumienia w procesie uczenia się matematyki i, w konsekwencji, w przygotowaniu ich do życia zawodowego.Istotną cechą charakterystyczną tego projektu jest wykorzystanie problematyki wprowadzenia liczb ujemnych jako kontekstu motywującego uczniów do rozwoju u nich pożądanych postaw poznawczych, w szczególności do krytycznego myślenia, kontroli i refleksji. Opracowana w ramach tego projektu koncepcja uczenia się i nauczania matematyki wykorzystuje pojęcie „umowa” jako metaforę reprezentującą specyficzny sposób myślenia w odniesieniu do posługiwania się systemem pojęć i ma na celu rozwój tego sposobu myślenia u uczniów. Chodzi tu o myślenie systemowe (systemic thinking) w sensie opisanym przez Sierpinską (Sierpinska et al., 2002, Sierpinska, 2005) oraz myślenie aksjomatyczne w sensie opisanym przez Freudenthala (1963, 1968, s. 7). W celu skontruowania tej metafory w umyśle uczniów opracowane zostało nowe „środowisko uczenia się” (learning environment) wprowadzające uczniów w problematykę liczb ujemych i działań na liczbach całkowitych. Środowisko to wykorzystuje kontekst transakcji bankowych, długów i pieniędzy lokowanych na koncie w fikcyjnym banku. Z uwagi na ten kontest, uczniowie pojmują to środowisko jako pewnego rodzaju grę w kontekście realistycznym (w sensie opisanym w pracy (Gravemeijer et al., 2003, s. 53)), a nie jako kontekst realny nawiązujący do otaczającej ich rzeczywistości. Aktywności uczniów w tym środowisku nie są aktywnościami konkretnymi, lecz raczej wyobrażonymi. Są one pewnego rodzaju experymentem umysłowym.Problem w stworzeniu tego środowiska polegał na tym, aby znaleźć dostęp do intuicyjnej wiedzy uczniów na temat liczb całkowitych i zrekonstuować intuicyjnie pojęty przez nich sposób postępowania z liczbami całkowitymi (a nie na tylko na tym, aby umożliwić uczniom szybkie nabycie sprawności w wykonywaniu działań). Akcent położony jest tutaj na rekonstrukcję wiedzy i jej precyzyjną reprezentację rozwiniętą do „umownej” (aksjomatycznej) definicji dodawania, odejmowania i addytywnej odwrotności liczby w zakresie liczb calkowitych. Metafora „umowa” dostęp ten umożliwia w następujący sposób: w środowisku utworzonym w celu wprowadzenia liczb ujemnych, uczniowie konstruują umowę z fikcyjnym bankiem po to, aby w oparciu o nią zmusić bank do wykonywania i zapisywania transakcji bankowych w sposób odpowiadający oczekiwaniom uczniów, zgodnie z ich intuicyjną wiedzą dotyczącą pieniędzy i długów.W oparciu o prace pisemne uczniów w artykule omówione są efekty wynikające z posługiwania się metaforą „umowa”. Z uwagi na cel, jakim jest wyeksponowanie wpływu tej metafory na rozumienie przez uczniów procesu konstruowania pojęć w matematyce oraz sposobu posługiwania się powiązanymi ze sobą pojęciami, analiza prac uczniów ma charakter jakościowy. Na wybranych przykładach wyjaśniony został sposób rozumowania uczniów w zakresie wykonywania działań na liczbach całkowitych, sposób argumentowania, dowodzenia i konstruowania twierdzeń. Prace pisemne wskazują na to, że uczniowie nauczani według omówionej w tym artykule koncepcji pojmują dowody jako sposób weryfikacji przypuszczanych lub zaobserwowanych zależności (a nie tylko jako pewnego rodzaju ćwiczenia matematyczne) oraz wykazują świadomość metodologiczną w zakresie wykonywania działań, argumentowania i dowodzenia. Analiza tych prac prowadzi do stwierdzenia, że odpowiednio użyta w procesie nauczania metafora „umowa” stała się dla uczniów narzędziem poznawczym umożliwiającym uczniom doświadczanie matematyki jako „human activity” (Freudenthal, 1991, s. 14) – w szczególności jako „activity of discovering and organizing in an interplay of content and form” (ibid., s. 15).
