Wykorzystywanie kalkulatora graficznego w nauczaniu i uczeniu się matematykistaje się coraz bardziej popularne. Jednym z głównych zalet użycia tegosprzętu jest możliwość naszkicowania wykresu niemal każdej funkcji jednejzmiennej oraz jej pochodnych. Daje to pewną łatwość w badaniu własnościfunkcji. Pozwala też na inne wprowadzenie pochodnych funkcji, niekoniecznietradycyjne – poprzez wprowadzenie granic funkcji. Z uwagi na trudność zrozumieniapojęcia granicy funkcji u uczniów w wieku licealnym alternatywnysposób pozwala na możliwość zastosowania pochodnych w różnych aspektachnauki: ekonomii, fizyki, biologii itp.Celem obserwacji było określenie umiejętności dostrzegania przez uczniówregularności w obserwowanych funkcjach i ich pochodnych. O istocie procesuuogólniania problemów matematycznych pisała już Krygowska w latach70-tych (Krygowska, 1977): „Problemowe uogólnienie matematycznych pojęćprzez samego ucznia jeszcze w naiwnym, dostosowanym do poziomu jego intelektualnegorozwoju ujęciu, organizować można tak, że uczeń bądź odkrywastosunek nadrzędności dwóch znanych mu już pojęć, bądź konstruuje świadomiei celowo pojęcie nadrzędne dla znanego mu już pojęcia”. W tej samejksiążce dokonała podziału uogólnienia na:• uogólnianie typu indukcyjnego;• uogólnianie twierdzenia przez uogólnianie rozumowania;• uogólnianie przez unifikację;• uogólnianie przez dostrzeżenie prawa rekurencji.Jak podkreśliłam w artykule (Jureczko, 2014) stawiając przed uczniem problemmatematyczny wymagający dostrzeżenia regularności możemy oczekiwaćjednej z trzech sytuacji:• uczeń postępuje zgodnie z kolejnymi poleceniami nauczyciela;• uczeń sam zadaje pytania i poszukuje na nie odpowiedzi;• uczeń formułuje hipotezę i szuka sposobu, aby tę hipotezę potwierdzićlub odrzucić.Nas jako badaczy najbardziej interesuje trzecia możliwość, gdyż jak podkreślaKrygowska rozwija się u ucznia tzw. „odwaga intelektualna”, a jest tojeden z ważniejszych celów nauczania, w szczególności nauczania matematyki.Kolejną kwestią w procesie uogólniania jest odpowiedni dobór zadań, nietakich, w których uczeń zna algorytm rozwiązania. Takich badań dokonywałjuż Wittmann w latach 70-tych ubiegłego stulecia (zobacz Krygowska, 1977).Może być to np. zetknięcie ucznia z nowym działem matematyki, w którymuczeń sam ma odkryć pewne twierdzenia i zweryfikować ich prawdziwość.W taki sposób jak pisze Krygowska można dokonać przedłużenia problemupostawionego w zadaniu. Jednym z form przedłużania problemu jest specyfikacja,czyli potwierdzanie lub odrzucanie postawionej hipotezy poprzez badanieprzypadków szczególnych.W późniejszych pracach proces uogólniania też był poruszany. Np. D ̈orfler(D ̈orfler 1991) dokonał innego podziału uogólnień na empiryczny i teoretyczny.W moim artykule będziemy mieć wyłącznie do czynienia z uogólnianiemempirycznym.Sposób w jaki postępowali badani uczniowie można opisać za pomocądiagramu 0a jednak dla poprawności wyniku istotny jest proces uogólnianiaprzedstawiony na diagramie 0b.W późniejszych pracach (cytowanych w bibliografii) autorzy podejmowalipróby zastosowań technologii informacyjnych w procesie nauczania matematykiw tym wprowadzania pochodnych ale w odmienny sposób niż zostało topokazane w tym artykule.W badaniu brało udział 12 uczniów w wieku 17-18 lat. Badanie zostałoprzeprowadzone podczas trzech jednostek lekcyjnych. Poszczególne lekcjeodbywały się w odstępach kilkudniowych – był to czas na korygowanie błędówwyników prezentowanych przez uczniów jak i praktyczne ćwiczenia nawykorzystanie poznanych wzorów na pochodne funkcji. Poszczególne lekcjedotyczyły:• znajdowania wzorów na pochodną wielomianu fnckji jednej zmiennej;• znajdowania wzorów na pochodną funkci złożonej;• poszukiwanie związków między monotonicznością i wypukłością funkcjia zachowaniem się pochodnych.Każda lekcja przebiegała w podobny sposób: uczniowie otrzymywali kalkulatorgraficzny i karty pracy. Pracowali indywidualnie, praktycznie bez pomocynauczyciela. Zadania na kartach pracy zostały tak dobrane, aby stopniowaćtrudność ich rozwiązania oraz tak, aby brak rozwiązania poprzedniego zadaniauniemożliwiał rozwiązywanie kolejnego zadania.Z uwagi na małą liczbę badanych uczniów zdecydowałam się na analizęjakościową prac czterech uczniów, których rozwiązania zadań wykazywałyróżnice.Podczas analizy dostrzegłam następujące aspekty:• początkowe zadania na ogół nie sprawiały uczniom problemów;• uczniowie uzasadniali zaobserwowane własności bądź zapisem symbolicznymbądź werbalnie;• kalkulator graficzny okazał się bardzo pomocny w dostrzeganiu regularnościjak i badaniu podobnych funkcji co ułatwiało proces uogólnianiawzorów;• kalkulator graficzny oprócz pozytywnego wpływu na proces uogólnianianiesie też za sobą pewne zagrożenia, w tym popełnianie błędów i utwierdzaniemsię w błędnych przekonaniach dot. uogólnień przez prawdopodobniezgadywanie wzorów na pochodne funkcji;• uczniowie popełniali błędy, gdyż w ich rozumowaniach zabrakło elementupróby potwierdzania postawionej hipotezy, co zaowocowało powielaniembłędów mimo korekty ze strony nauczyciela.Nie należy ukrywać jednak faktu, że lekcje z użyciem kalkulatora graficznegosą dla uczniów ciekawsze i dzięki niemu wzrasta motywacja uczenia się i odkrywaniamatematyki. Uczniowie przestają być biernymi słuchaczami, a stająsię badaczami. Mogą też w bardzo krótkim czasie zbadać kilka lub kilkanaściepodobnych przykładów, co ułatwia im wyciąganie wniosków.Jak można przeczytać w pracy(Doerr, at. al, 2000) kalkulator graficznymożna wykorzystać:• do wykonywania rachunków;• do zmiany natury zadania;• do zbierania i analizy danych;• do wizualizacji problemu;• do sprawdzania wyników.Jak pokazałam m.in. w (Jureczko, 2014a) kalkulator ten można użyć w celupotwierdzania hipotez. Jednak użycie tego sprzętu wymaga od nauczycielapewnej ostrożności w stosowaniu w celu unikania przez uczniów błędów orazutwierdzania ich w błędnych przekonaniach co do odkrytej regularności.
