Comparison between two types of large sample covariance matrices

Pan, Guangming

Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 50 (2014) no. 2, pp. 655-677

Abstract (VO)

Let $\left\{X_{ij}\right\}$, $i,j=\cdots$, be a double array of independent and identically distributed (i.i.d.) real random variables with $E{X}_{11}=\mu$, $E|X_{11}{-\mu |}^2=1$ and $E|X_{11}{|}^4<\infty$. Consider sample covariance matrices (with/without empirical centering) $𝒮=\frac{1}{n}{\sum }_{j=1}^n({𝐬}_j-\overline{𝐬}){({𝐬}_j-\overline{𝐬})}^T$ and $𝐒=\frac{1}{n}{\sum }_{j=1}^n{𝐬}_j{𝐬}_j^T$, where $\overline{𝐬}=\frac{1}{n}{\sum }_{j=1}^n{𝐬}_j$ and ${𝐬}_j={𝐓}_n^{1/2}{(X_{1j},...,X_{pj})}^T$ with ${\left({𝐓}_n^{1/2}\right)}^2={𝐓}_n$, non-random symmetric non-negative definite matrix. It is proved that central limit theorems of eigenvalue statistics of $𝒮$ and $𝐒$ are different as $n\to \infty$ with $p/n$ approaching a positive constant. Moreover, it is also proved that such a different behavior is not observed in the average behavior of eigenvectors.

Résumé

Soit $\left\{X_{ij}\right\}$, $i,j=1,2,...$, un tableau à double entrées, les $X_{ij}$ étant des variables aléatoires réelles indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) et où $𝐄X_{11}=\mu$, $𝐄|X_{11}{-\mu |}^2=1$ et $𝐄|X_{11}{|}^4<\infty$. Considérons les matrices de covariances empiriques suivantes (avec/sans centrage empirique): $𝒮=\frac{1}{n}{\sum }_{j=1}^n({𝐬}_j-\overline{𝐬}){({𝐬}_j-\overline{𝐬})}^T$ et $𝐒=\frac{1}{n}{\sum }_{j=1}^n{𝐬}_j{𝐬}_j^T$, avec $\overline{𝐬}=\frac{1}{n}{\sum }_{j=1}^n{𝐬}_j$ et ${𝐬}_j={𝐓}_n^{1/2}{(X_{1j},...,X_{pj})}^T$, où ${\left({𝐓}_n^{1/2}\right)}^2={𝐓}_n$ est une matrice déterministe définie positive. Nous démontrons que, sous le régime asymptotique $n\to \infty$ et $p/n$ converge vers une constante positive, le théorème central limite pour la statistique $𝒮$ est différent de celui concernant la statistique $𝐒$. En outre, nous montrons que cette différence de comportement n’est pas observée pour le comportement moyen des vecteurs propres.

Détail

DOI : 10.1214/12-AIHP506

Classification : 15A52, 60F15, 62E20, 60F17
Keywords: central limit theorems, eigenvectors and eigenvalues, sample covariance matrix, Stieltjes transform, strong convergence