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Spectral gap and convex concentration inequalities for birth-death processes
Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 45 (2009) no. 1, pp. 58-69

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MR Zbl EuDML

In this paper, we consider a birth-death process with generator ℒ and reversible invariant probability π. Given an increasing function ρ and the associated Lipschitz norm · Lip(ρ) , we find an explicit formula for ∥(-ℒ) -1 ∥ Lip(ρ) . As a typical application, with spectral theory, we revisit one variational formula of M. F. Chen for the spectral gap of ℒ in L 2 (π). Moreover, by Lyons-Zheng’s forward-backward martingale decomposition theorem, we get convex concentration inequalities for additive functionals of birth-death processes.

Dans ce travail, nous considérons un processus de naissance et de mort de générateur ℒ et de probabilité invariante réversible π. Étant données une fonction strictement croissante ρ, et la norme lipschitzienne · Lip(ρ) par rapport à ρ, nous trouvons une représentation explicite de ∥(-ℒ) -1 ∥ Lip(ρ) . En guise d’une application typique, nous retrouvons une formule variationnelle de M. F. Chen pour le trou spectral de ℒ dans L 2 (π). De plus, par la décomposition des martingales progressive-rétrogrades de Lyons-Zheng, nous obtenons des inégalités de concentration convexe pour des fonctionnelles additives de processus de naissance et de mort.

DOI : 10.1214/07-AIHP149
Classification : 60E15, 60G27
Keywords: Birth-death process, spectral gap, Lipschitz function, Poisson equation, convex concentration inequality 
Liu, Wei; Ma, Yutao. Spectral gap and convex concentration inequalities for birth-death processes. Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 45 (2009) no. 1, pp. 58-69. doi: 10.1214/07-AIHP149
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TY  - JOUR
AU  - Liu, Wei
AU  - Ma, Yutao
TI  - Spectral gap and convex concentration inequalities for birth-death processes
JO  - Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques
PY  - 2009
SP  - 58
EP  - 69
VL  - 45
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PB  - Gauthier-Villars
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