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We study zeta functions enumerating finite-dimensional irreducible complex linear representations of compact p-adic analytic and of arithmetic groups. Using methods from -adic integration, we show that the zeta functions associated to certain p-adic analytic pro-p groups satisfy functional equations. We prove a conjecture of Larsen and Lubotzky regarding the abscissa of convergence of arithmetic groups of type defined over number fields, assuming a conjecture of Serre on lattices in semisimple groups of rank greater than 1.
On étudie les fonctions zêta dénombrant les représentations linéaires complexes irréductibles de dimension finie de groupes compacts p-adiques analytiques et de groupes arithmétiques. En utilisant une méthode d'intégration -adique, on démontre que celles de ces fonctions qui sont associées à certains pro-p-groupes p-adiques analytiques satisfont à des équations fonctionnelles. En admettant une conjecture de Serre sur les réseaux dans les groupes semi-simples de rang supérieur 1, on démontre une conjecture de Larsen et Lubotzky pour les groupes algébriques de type définis sur des corps de nombres.
Avni, Nir 1 ; Klopsch, Benjamin 2 ; Onn, Uri 3 ; Voll, Christopher 4
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Avni, Nir; Klopsch, Benjamin; Onn, Uri; Voll, Christopher. On representation zeta functions of groups and a conjecture of Larsen–Lubotzky. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 348 (2010) no. 7-8, pp. 363-367. doi : 10.1016/j.crma.2010.02.019. http://geodesic.mathdoc.fr/articles/10.1016/j.crma.2010.02.019/
[1] Arithmetic groups have rational representation growth, 2008 | arXiv
[2] N. Avni, B. Klopsch, U. Onn, C. Voll, Representation zeta functions of compact p-adic analytic groups and arithmetic groups, preprint
[3] N. Avni, B. Klopsch, U. Onn, C. Voll, Representation zeta functions for SL3, preprint
[4] Kirillov theory for compact p-adic groups, Pacific J. Math., Volume 73 (1977), pp. 365-381
[5] Zeta functions of representations of compact p-adic analytic groups, J. Amer. Math. Soc., Volume 19 (2006), pp. 91-118
[6] Representation growth of linear groups, J. Eur. Math. Soc. (JEMS), Volume 10 (2008), pp. 351-390
[7] Polynomial representation growth and the congruence subgroup problem, Israel J. Math., Volume 144 (2004), pp. 293-316
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[9] C. Voll, Functional equations for zeta functions of groups and rings, Ann. of Math., in press
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