Estimation du nombre de dérivées d'un processus Gaussien

Blanke, Delphine; Vial, Céline

doi:10.1016/j.crma.2006.10.012

Geodesic

Parcourir par

Statistique

Estimation du nombre de dérivées d'un processus Gaussien

Présenté par : Paul Deheuvels

Blanke, Delphine ¹ ; Vial, Céline ^2,³

¹ Université Pierre et Marie Curie-Paris 6, L.S.T.A., 175, rue du Chevaleret, 8ème étage, bâtiment A, 75013 Paris, France
² Université Paris 10, Modal'X, bâtiment G, 200, avenue de la République, 92000 Nanterre, France
³ Université Pierre et Marie Curie-Paris 6, L.P.M.A., 175, rue du Chevaleret, 4ème étage, bâtiment D, 75013 Paris, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 343 (2006) no. 10, pp. 661-664.

Voir la notice de l'article provenant de la source Numdam

Résumé (VO)
Abstract

Nous considérons un processus Gaussien réel, X, de régularité inconnue $r_{0} \in N$ au sens où la dérivée d'ordre $r_{0}$ en moyenne quadratique, notée $X^{(r_{0})}$ , est supposée hölderienne. Dans un premier temps, à partir des observations discrétisées $X (t_{1}), \dots, X (t_{n})$ , on étudie la reconstruction de $X (t)$ , $t \in [0, 1]$ , par ${\tilde{X}}_{r} (t)$ où ${\tilde{X}}_{r} (t)$ est un polynôme d'interpolation par morceaux, de degré $r ⩾ 1$ . On montre que l'erreur quadratique d'interpolation $E (X (t) - {\tilde{X}}_{r} {(t))}^{2}$ décroît quand r augmente mais qu'elle se stabilise dès que r dépasse $r_{0}$ . On construit ainsi un estimateur $\hat{r}$ du paramètre $r_{0}$ grâce à un critère empirique basé sur cette erreur d'interpolation. On établit la convergence presque sûre de $\hat{r}$ vers $r_{0}$ via une inégalité exponentielle pour $P (\hat{r} \neq r_{0})$ . Finalement, on montre que ${\tilde{X}}_{\hat{r}} (t)$ converge presque sûrement vers $X (t)$ avec une vitesse comparable au cas où $r_{0}$ est connu.

We consider a real Gaussian process X with unknown smoothness $r_{0} \in N$ where the mean-square derivative $X^{(r_{0})}$ is supposed to be Hölder continuous in quadratic mean. First, from the discrete observations $X (t_{1}), \dots, X (t_{n})$ , we study reconstruction of $X (t)$ , $t \in [0, 1]$ , with ${\tilde{X}}_{r} (t)$ , a piecewise polynomial interpolation of degree $r ⩾ 1$ . We show that the mean-square error of interpolation is a decreasing function of r but becomes stable as soon as $r ⩾ r_{0}$ . Next, from an interpolation-based empirical criterion, we derive an estimator $\hat{r}$ of $r_{0}$ and prove its strong consistency by giving an exponential inequality for $P (\hat{r} \neq r_{0})$ . Finally, we prove the strong convergence of ${\tilde{X}}_{\hat{r}} (t)$ toward $X (t)$ with a similar rate as in the case ‘ $r_{0}$ known’.

Reçu le : 2006-06-11
Accepté le : 2006-10-10
Publié le : 2006-11-14

DOI : 10.1016/j.crma.2006.10.012

Affiliations des auteurs :

Blanke, Delphine ¹ ; Vial, Céline ^{2, 3}

@article{CRMATH_2006__343_10_661_0,
     author = {Blanke, Delphine and Vial, C\'eline},
     title = {Estimation du nombre de d\'eriv\'ees d'un processus {Gaussien}},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {661--664},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {343},
     number = {10},
     year = {2006},
     doi = {10.1016/j.crma.2006.10.012},
     language = {fr},
     url = {http://geodesic.mathdoc.fr/articles/10.1016/j.crma.2006.10.012/}
}

TY  - JOUR
AU  - Blanke, Delphine
AU  - Vial, Céline
TI  - Estimation du nombre de dérivées d'un processus Gaussien
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2006
SP  - 661
EP  - 664
VL  - 343
IS  - 10
PB  - Elsevier
UR  - http://geodesic.mathdoc.fr/articles/10.1016/j.crma.2006.10.012/
DO  - 10.1016/j.crma.2006.10.012
LA  - fr
ID  - CRMATH_2006__343_10_661_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Blanke, Delphine
%A Vial, Céline
%T Estimation du nombre de dérivées d'un processus Gaussien
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2006
%P 661-664
%V 343
%N 10
%I Elsevier
%U http://geodesic.mathdoc.fr/articles/10.1016/j.crma.2006.10.012/
%R 10.1016/j.crma.2006.10.012
%G fr
%F CRMATH_2006__343_10_661_0

Blanke, Delphine; Vial, Céline. Estimation du nombre de dérivées d'un processus Gaussien. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 343 (2006) no. 10, pp. 661-664. doi : 10.1016/j.crma.2006.10.012. http://geodesic.mathdoc.fr/articles/10.1016/j.crma.2006.10.012/

Bibliographie
Cité par

[1] D. Blanke, C. Vial, Assessing the number of mean-square derivatives of a Gaussian process, Prépublications MODALX, 2006-4, soumis, 28 p

[2] Bucklew, J.A. A note on the prediction error for small time lags into the future, IEEE Trans. Inform. Theory, Volume 31 (1985) no. 5, pp. 677-679

[3] Cuzick, J. A lower bound for the prediction error of stationary Gaussian processes, Indiana Univ. Math. J., Volume 26 (1977) no. 3, pp. 577-584

[4] Ditlevsen, S.; Sørensen, M. Inference for observations of integrated diffusion processes, Scand. J. Statist., Volume 31 (2004) no. 3, pp. 417-429

[5] Hanson, D.L.; Wright, F.T. A bound on tail probabilities for quadratic forms in independent random variables, Ann. Math. Statist., Volume 42 (1971) no. 3, pp. 1079-1083

[6] Istas, J.; Lang, G. Quadratic variations and estimation of the local Hölder index of a Gaussian process, Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist., Volume 33 (1997) no. 4, pp. 407-436

[7] Lindgren, G. Prediction of level crossings for normal processes containing deterministic components, Adv. Appl. Probab., Volume 11 (1979) no. 1, pp. 93-117

[8] Müller-Gronbach, T. Optimal designs for approximating the path of a stochastic process, J. Statist. Plann. Inference, Volume 49 (1996) no. 3, pp. 371-385

[9] Müller-Gronbach, T.; Ritter, K. Uniform reconstruction of Gaussian processes, Stochastic Process. Appl., Volume 69 (1997) no. 1, pp. 55-70

[10] Müller-Gronbach, T.; Ritter, K. Spatial adaption for predicting random functions, Ann. Statist., Volume 26 (1998) no. 6, pp. 2264-2288

[11] Plaskota, L.; Ritter, K.; Wasilkowski, G. Average case complexity of weighted approximation and integration over $R_{+}$ , J. Complexity, Volume 18 (2002) no. 2, pp. 517-544

[12] Plaskota, L.; Ritter, K.; Wasilkowski, G. Optimal designs for weighted approximation and integration of stochastic processes on $[0, \infty ($ , J. Complexity, Volume 20 (2004) no. 1, pp. 108-131

[13] Ritter, K. Average-Case Analysis of Numerical Problems, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1733, Springer, 2000

[14] Seleznjev, O. Large deviations in the piecewise linear approximation of Gaussian processes with stationary increments, Adv. Appl. Probab., Volume 28 (1996) no. 2, pp. 481-499

[15] Seleznjev, O. Spline approximation of random processes and design problems, J. Statist. Plann. Inference, Volume 84 (2000) no. 1–2, pp. 249-262

Cité par Sources :