Generalized Ricci bounds and convergence of metric measure spaces

Sturm, Karl-Theodor

doi:10.1016/j.crma.2004.11.022

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Probability Theory

Generalized Ricci bounds and convergence of metric measure spaces
[Bornes généralisées de la courbure Ricci et convergence des espaces métriques mesurés.]

Présenté par : Paul Malliavin

Sturm, Karl-Theodor ¹

¹ Institut für Angewandte Mathematik, Universität Bonn, Wegelerstrasse 6, 53125 Bonn, Germany

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 340 (2005) no. 3, pp. 235-238.

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Abstract (VO)
Résumé

We introduce and analyze curvature bounds $\underset{̲}{C urv} (M, d, m) ⩾ K$ for metric measure spaces $(M, d, m)$ , based on convexity properties of the relative entropy $Ent (\cdot | m)$ . For Riemannian manifolds, $\underset{̲}{C urv} (M, d, m) ⩾ K$ if and only if ${Ric}_{M} (ξ, ξ) ⩾ K \cdot {| ξ |}^{2}$ for all $ξ \in T M$ . We define a complete separable metric $D$ on the family of all isomorphism classes of normalized metric measure spaces. It has a natural interpretation in terms of mass transportation. Our lower curvature bounds are stable under $D$ -convergence. We also prove that the family of normalized metric measure spaces with doubling constant $⩽ C$ is closed under $D$ -convergence. Moreover, the subfamily of spaces with diameter $⩽ R$ is compact.

Nous introduisons et nous étudions les bornes de la courbure $\underset{̲}{C urv} (M, d, m) ⩾ K$ pour des espaces métriques mesurés $(M, d, m)$ , en utilisant des propriétés de convexité de l'entropie relative $Ent (\cdot | m)$ . Pour les variétés riemanniennes, $\underset{̲}{C urv} (M, d, m) ⩾ K$ , si et seulement si ${Ric}_{M} (ξ, ξ) ⩾ K \cdot {| ξ |}^{2}$ pour tout $ξ \in T M$ . Nous définissons une métrique $D$ complète, séparable sur la famille des classes d'isomorphie d'espaces métriques mesurés, normalisés. Cette métrique a une interprétation naturelle dans le contexte du transport de masse. Nos bornes inférieures de la courbure sont stables pour la $D$ -convergence. Nous démontrons aussi que, pour la $D$ -convergence, la famille des espaces métriques mesurés, normalisés, avec une constante de doublement $⩽ C$ est fermée et, de plus, la sous-famille, dont les élements ont un diamètre $⩽ R$ est compacte.

Reçu le : 2004-11-07
Accepté le : 2004-11-09
Publié le : 2005-01-12

DOI : 10.1016/j.crma.2004.11.022

Affiliations des auteurs :

Sturm, Karl-Theodor ¹

¹ Institut für Angewandte Mathematik, Universität Bonn, Wegelerstrasse 6, 53125 Bonn, Germany

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Sturm, Karl-Theodor. Generalized Ricci bounds and convergence of metric measure spaces. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 340 (2005) no. 3, pp. 235-238. doi : 10.1016/j.crma.2004.11.022. http://geodesic.mathdoc.fr/articles/10.1016/j.crma.2004.11.022/

Bibliographie
Cité par

[1] Cordero-Erausquin, D.; McCann, R.; Schmuckenschläger, M. A Riemannian interpolation inequality à la Borell, Brascamb and Lieb, Invent. Math., Volume 146 (2001), pp. 219-257

[2] Feyel, D.; Üstünel, A.S. Monge–Kantorovitch measure transportation and Monge–Ampère equation on Wiener space, Probab. Theory Related Fields, Volume 128 (2004) no. 3, pp. 347-385

[3] Gromov, M. Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1999 (With appendices by M. Katz, P. Pansu and S. Semmes)

[4] M.-K. von Renesse, K.T. Sturm, Transport inequalities, gradient estimates, entropy and Ricci curvature, Commun. Pure Appl. Math. (2004), in press

[5] K.T. Sturm, Convex functionals of probability measures and nonlinear diffusions on manifolds, J. Math. Pure Appl. (2005), in press

[6] K.T. Sturm, On the geometry of metric measure spaces, SFB611 – Preprint 203 (2004), University Bonn

[7] Villani, C. Topics in Mass Transportation, Grad. Stud. Math., American Mathematical Society, 2003

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