Partial Differential Equations

Higher order energy expansions for some singularly perturbed Neumann problems

[Développement asymptotique de l'énergie des solutions des problèmes de perturbations singulières]

Présenté par : Haïm Brézis

Wei, Juncheng¹ ; Winter, Matthias²

¹ Department of Mathematics, The Chinese University of Hong Kong, Shatin, Hong Kong
² Fachbereich Mathematik, Universität Stuttgart, Pfaffenwaldring 57, 70569 Stuttgart, Germany

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 337 (2003) no. 1, pp. 37-42

Abstract (VO)

We consider the following singularly perturbed semilinear elliptic problem:

$${ϵ}^2\Delta \mathrm{u}-\mathrm{u}+{\mathrm{u}}^p=0\mathrm{in}\Omega ,\mathrm{u}>0\mathrm{in}\Omega \mathrm{and}\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial \nu }=0\mathrm{on}\partial \Omega ,$$

where $\Omega$ is a bounded smooth domain in ${ℝ}^N$, ε>0 is a small constant and p is a subcritical exponent. Let $J_{ϵ}\left[\mathrm{u}\right]:={\int }_{\Omega }(\frac{{ϵ}^2}{2}{\left|\nabla \mathrm{u}\right|}^2+\frac{1}{2}{u}^2-\frac{1}{\mathrm{p}+1}{u}^{\mathrm{p}+1})\mathrm{d}x$ be its energy functional, where $\mathrm{u}\in {\mathrm{H}}^1\left(\Omega \right)$. Ni and Takagi proved that for a single boundary spike solution u_ε, the following asymptotic expansion holds

$$J_{ϵ}\left[{\mathrm{u}}_{ϵ}\right]={ϵ}^N\left[\frac{1}{2}\mathrm{I}\left[\mathrm{w}\right]-{\mathrm{c}}_1ϵ\mathrm{H}\left({\mathrm{P}}_{ϵ}\right)+\mathrm{o}\left(ϵ\right)\right],$$

where c₁>0 is a generic constant, P_ε is the unique local maximum point of u_ε and H(P_ε) is the boundary mean curvature function. In this Note, we obtain the following higher order expansion of J_ε[u_ε]:

$$J_{ϵ}\left[{\mathrm{u}}_{ϵ}\right]={ϵ}^N\left[\frac{1}{2}\mathrm{I}\left[\mathrm{w}\right]-{\mathrm{c}}_1ϵ\mathrm{H}\left({\mathrm{P}}_{ϵ}\right)+{ϵ}^2[{\mathrm{c}}_2{\left(\mathrm{H}\left({\mathrm{P}}_{ϵ}\right)\right)}^2+{\mathrm{c}}_3\mathrm{R}\left({\mathrm{P}}_{ϵ}\right)]+\mathrm{o}\left({ϵ}^2\right)\right],$$

where c₂, c₃ are generic constants and R(P_ε) is the Ricci scalar curvature at P_ε. In particular c₃>0. Applications of this expansion will be given.

Résumé

Nous étudions le problème suivant de perturbations singulières :

$${ϵ}^2\Delta \mathrm{u}-\mathrm{u}+{\mathrm{u}}^p=0\mathrm{dans}\Omega ,\mathrm{u}>0\mathrm{dans}\Omega \mathrm{et}\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial \nu }=0\mathrm{sur}\partial \Omega ,$$

où $\Omega$ est un domaine ouvert dans ${ℝ}^N$, ε>0 est une constante petite et p est un exposant souscritique. L'énergie s'écrit alors $J_{ϵ}\left[\mathrm{u}\right]:={\int }_{\Omega }(\frac{{ϵ}^2}{2}{\left|\nabla \mathrm{u}\right|}^2+\frac{1}{2}{u}^2-\frac{1}{\mathrm{p}+1}{u}^{\mathrm{p}+1})\mathrm{d}x$, où $\mathrm{u}\in {\mathrm{H}}^1\left(\Omega \right)$. Ni et Takagi montrent que pour une solution u_ε avec une pic sur la frontière du domaine, on a le développement asymptotique suivant :

$$J_{ϵ}\left[{\mathrm{u}}_{ϵ}\right]={ϵ}^N\left[\frac{1}{2}\mathrm{I}\left[\mathrm{w}\right]-{\mathrm{c}}_1ϵ\mathrm{H}\left({\mathrm{P}}_{ϵ}\right)+\mathrm{o}\left(ϵ\right)\right],$$

où c₁>0 est une constante générique, P_ε est le point unique de maximum local de u_ε et H(P_ε) est la fonction de la courbure moyenne sur la frontière. On établit que :

$$J_{ϵ}\left[{\mathrm{u}}_{ϵ}\right]={ϵ}^N\left[\frac{1}{2}\mathrm{I}\left[\mathrm{w}\right]-{\mathrm{c}}_1ϵ\mathrm{H}\left({\mathrm{P}}_{ϵ}\right)+{ϵ}^2[{\mathrm{c}}_2{\left(\mathrm{H}\left({\mathrm{P}}_{ϵ}\right)\right)}^2+{\mathrm{c}}_3\mathrm{R}\left({\mathrm{P}}_{ϵ}\right)]+\mathrm{o}\left({ϵ}^2\right)\right],$$

où c₂, c₃ sont les constantes génériques et R(P_ε) est la courbure scalaire de Ricci en P_ε. En particulier c₃>0. Nous présentons des applications de ce développement asymptotique.

Détail

Reçu le : 2003-05-13
Accepté le : 2003-05-13
Publié le : 2003-06-26

DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00269-3