Mathematical Analysis

Uncertainty principle and L^p–L^q-sufficient pairs on noncompact real symmetric spaces

[Principe d'incertitude et paires L^p–L^q-suffisantes sur les espaces symétriques réels non-compacts]

Présenté par : Jean-Pierre Kahane

Ben Farah, Slaim¹ ; Mokni, Kamel¹

¹ Faculté des sciences de Monastir, département de mathématiques, 5019 Monastir, Tunisia

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 11, pp. 889-892

Abstract (VO)

We consider a real semi-simple Lie group G with finite center and a maximal compact sub-group K of G. Let $\mathrm{G}=\mathrm{K}\exp \left(\overline{{𝔞}_{+}}\right)\mathrm{K}$ be a Cartan decomposition of G. For x∈G denote ∥x∥ the norm of the ${𝔞}_{+}$-component of x in the Cartan decomposition of G. Let $\mathrm{a}>0,\mathrm{b}>0$ and 1⩽p,q⩽∞. In this Note we give necessary and sufficient conditions on $\mathrm{a},b$ such that for all K-bi-invariant measurable function f on G, if e^a∥x∥2f∈L^p(G) and ${\mathrm{e}}^{\mathrm{b}\parallel \lambda {\parallel }^2}ℱ\left(\mathrm{f}\right)\in {\mathrm{L}}^q\left({𝔞}_{+}^{*}\right)$ then f=0 almost everywhere.

Résumé

On considère un groupe de Lie semi-simple réel G de centre fini et K un sous-groupe compact maximal de G. Soit $\mathrm{G}=\mathrm{K}\exp \left(\overline{{𝔞}_{+}}\right)\mathrm{K}$ une décomposition de Cartan de G. Pour x∈G, on note ∥x∥ la norme de la composante de x dans ${𝔞}_{+}$. Soient $\mathrm{a}>0,\mathrm{b}>0$ et 1⩽p,q⩽∞. Dans cette Note on donne une condition nécessaire et suffisante sur $\mathrm{a},b$ telle que pour toute fonction f mesurable et K-bi-invariante sur G, si e^a∥x∥2f∈L^p(G) et ${\mathrm{e}}^{\mathrm{b}\parallel \lambda {\parallel }^2}ℱ\left(\mathrm{f}\right)\in {\mathrm{L}}^q\left({𝔞}_{+}^{*}\right)$ alors f=0 presque partout.

Détail

Reçu le : 2003-02-25
Accepté le : 2003-04-22
Publié le : 2003-05-31

DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00220-6