Équations aux dérivées partielles

Rôle de l'espace de Besov ${\mathrm{B}}_{\infty }^{-1,\infty }$ dans le contrôle de l'explosion éventuelle en temps fini des solutions régulières des équations de Navier–Stokes

Présenté par : Yves Meyer

May, Ramzi¹

¹ Département des mathématiques, Université d'Evry, boulevard F. Mitterrand, 91025 Evry cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 9, pp. 731-734

Résumé (VO)

Soit $\mathrm{u}\in \mathrm{C}\left(\right[0,{\mathrm{T}}^{*}[;{\mathrm{L}}^n{\left({ℝ}^n\right)}^n)$ une solution maximale des équations de Navier–Stokes. Nous montrons que u est C^∞ sur $]0,{\mathrm{T}}^{*}[\times {ℝ}^n$ et qu'il existe une constante ${ϵ}_{*}>0,$ qui ne dépend que de n, telle que si $T^{*}<\infty$ alors, pour toute $\omega \in \mathrm{S}{\left({ℝ}^n\right)}^n,$ on a $\overline{{\lim }_{t\to T^{*}}}{\parallel u\left(t\right)-\omega \parallel }_{{𝐁}_{\infty }^{-1,\infty }}⩾{ϵ}_{*}$.

Abstract

Let $\mathrm{u}\in \mathrm{C}\left(\right[0,{\mathrm{T}}^{*}[;{\mathrm{L}}^n{\left({ℝ}^n\right)}^n)$ be a maximal solution of the Navier–Stokes equations. We prove that u is C^∞ on $]0,{\mathrm{T}}^{*}[\times {ℝ}^n$ and there exists a constant ${ϵ}_{*}>0$, which depends only on n, such that if $T^{*}$ is finite then, for all $\omega \in \mathrm{S}{\left({ℝ}^n\right)}^n,$ we have $\overline{{\lim }_{t\to T^{*}}}{\parallel u\left(t\right)-\omega \parallel }_{{𝐁}_{\infty }^{-1,\infty }}⩾{ϵ}_{*}.$

Détail

Reçu le : 2003-02-10
Accepté le : 2003-03-18
Publié le : 2003-04-29

DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00155-9