Géométrie analytique

Hyperbolicité du complémentaire d'une courbe dans ${\mathbb{P}}^2$ : le cas de deux composantes

Jean-Pierre Demailly

Rousseau, Erwan¹

¹Université de Bretagne Occidentale, faculté des sciences et techniques, laboratoire de mathématiques, unité CNRS FRE 2218, 6, avenue V. Le Gorgeu, B.P. 809, 29285 Brest cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 8, pp. 635-640

Résumé (VO)

On démontre que le complémentaire d'une courbe complexe trés générique à deux composantes de degrés d₁⩽d₂ dans ${\mathbb{P}}^2$ est hyperbolique au sens de Kobayashi pour : d₁⩾5 ; d₁=4 et d₂⩾7 ; d₁=d₂=4 ; d₁=3 et d₂⩾9 ; d₁=2 et d₂⩾12. Pour cela, nous nous servons des jets logarithmiques développés par Dethloff et Lu (Osaka J. Math. 38 (2001) 185–237), qui ont généralisé à la situation logarithmique les fibrés de jets de Demailly (dans : Proc. Sympos. Pure Math., Vol. 62, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997, pp. 285–360), et utilisés par El Goul pour obtenir des résultats concernant l'hyperbolicité du complémentaire d'une courbe trés générique dans ${\mathbb{P}}^2$ dans le cas d'une seule composante.

Abstract

We prove that the complement of a very generic complex curve with two components in ${\mathbb{P}}^2$ of degrees d₁⩽d₂ is hyperbolic in the sense of Kobayashi in the following cases: d₁⩾5; d₁=4 and d₂⩾7; d₁=d₂=4; d₁=3 and d₂⩾9; d₁=2 and d₂⩾12. We consider logarithmic jets developped by Dethloff and Lu (Osaka J. Math. 38 (2001) 185–237), who generalized to the logarithmic situation Demailly's jet bundles (in: Proc. Sympos. Pure Math., Vol. 62, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997, pp. 285–360), and used by El Goul to obtain results about the hyperbolicity of the complement of a very generic curve in ${\mathbb{P}}^2$ in the case of a single component.

Détail

Reçu le : 2003-03-07
Accepté le : 2003-03-11
Publié le : 2003-04-11

DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00136-5