On the asymptotics of global solutions of higher-order semilinear parabolic equations in the supercritical range

[Sur les asymptotiques des solutions globales des équations paraboliques sémi-linéaires d'ordre supérieur dans le cas surcritique]

Egorov, Yu.V.¹ ; Galaktionov, V.A.² ; Kondratiev, V.A.³ ; Pohozaev, S.I.⁴

¹Laboratoire des mathématiques pour l'industrie et la physique, UMR 5640, Université Paul Sabatier, UFR MIG, 118, route de Narbonne, 31062, Toulouse cedex 4, France
²University of Bath, Department of Math. Sciences, Claverton Down, BA2 7AY, Bath, UK
³Mehmat. Faculty, Lomonosov State Univer., Vorob'evy Gory, 119899 Moscow, Russia
⁴Steklov Math. Institute, Gubkina 8, GSP-1, Moscow, Russia

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 10, pp. 805-810

Abstract (VO)

We study the asymptotic behaviour of global bounded solutions of the Cauchy problem for the semilinear 2mth order parabolic equation u_t=−(−Δ)^mu+|u|^p in R^N×R₊, where m>1, p>1, with bounded integrable initial data u₀. We prove that in the supercritical Fujita range p>p_F=1+2m/N any small global solution with nonnegative initial mass, $\int {\mathrm{u}}_0\mathrm{dx}⩾0$, exhibits as t→∞ the asymptotic behaviour given by the fundamental solution of the linear parabolic operator (unlike the case $\mathrm{p}\in ]1,{\mathrm{p}}_F]$ where solutions can blow-up for any arbitrarily small initial data). A discrete spectrum of other possible asymptotic patterns and the corresponding monotone sequence of critical exponents $\{p_l=1+2m/(l+N),l=0,1,2,...\}$, where p₀=p_F, are discussed.

Résumé

On considère le comportement asymptotique des solutions globales bornées du problème de Cauchy pour l'équation parabolique sémi-linéaire d'ordre 2m u_t=−(−Δ)^mu+|u|^p in R^N×R₊, u(x,0)=u₀∈X=L¹(R^N)∩L^∞(R^N), où m>1, p>1. On vérifie que dans le cas surcritique de Fujita p>p_F=1+2m/N toute petite solution globale avec la donnée initiale vérifiant $\int {\mathrm{u}}_0\mathrm{dx}⩾0$, montre le comportement asymptotique quand t→∞ défini par la solution fondamentale de l'opérateur linéaire parabolique, à la différence du cas $\mathrm{p}\in ]1,{\mathrm{p}}_F]$ quand la solution peut exploser pour la donnée initiale arbitrairement petite. Le spectre discret des pistes possibles et la suite correspondante des exponents critiques $\{p_l=1+2m/(l+N),l=0,1,2,...\}$, où p₀=p_F, sont descriptes.

Détail

Reçu le : 2002-06-19
Accepté le : 2002-07-23
Publié le : 2002-10-08

DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02567-0