Une nouvelle définition de l'invariant de Casson

Perron, Bernard¹

¹ Université de Bourgogne, Laboratoire de topologie, UMR 5584 du CNRS, 9, avenue Alain Savary, BP 47870, 21078 Dijon cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 334 (2002) no. 3, pp. 199-204

Résumé (VO)

Dans [4], en s'inspirant de [2], on a défini un invariant $\Delta \left(\mathrm{f}\right)\in \mathbb{Q}$, pour tout $\mathrm{f}\in {ℳ}_{\mathrm{g},1}$, le groupe modulaire d'une surface compacte, connexe, orientée, à bord connexe, de genre g. Pour $\mathrm{f}\in {𝒯}_{\mathrm{g},1}$ (un certain sous-groupe du groupe de Torelli), on a montré dans [4], en utilisant la formule de chirurgie de Casson, que Δ(f) coı̈ncide avec l'invariant de Casson [1] de la sphère d'homologie entière M_f, obtenue en recollant deux corps d'anses par f. Le but de cette Note est de montrer directement (i.e. sans référence à Casson) que Δ(f), pour $\mathrm{f}\in {𝒯}_{\mathrm{g},1}$, ne dépend que de la 3-variété M_f. La formule de chirurgie, qui est l'un des points difficiles chez Casson, résulte pratiquement de la définition de Δ(f).

Abstract

In [4], following [2], we have defined an invariant $\Delta \left(\mathrm{f}\right)\in \mathbb{Q}$, for any $\mathrm{f}\in {ℳ}_{\mathrm{g},1}$, the mapping class group of a compact, connected, oriented surface with connected boundary, genus g. For $\mathrm{f}\in {𝒯}_{\mathrm{g},1}$ (a certain subgroup of the Torelli group), we have shown in [4], using Casson surgery formula, that Δ(f) coı̈ncides with the Casson invariant [1] of the homology sphere M_f, obtained by gluing two handlebodies along f. The purpose of this Note is to prove directly (i.e., without reference to Casson) that Δ(f), for $\mathrm{f}\in {𝒯}_{\mathrm{g},1}$, depends only on M_f. The surgery formula, which is a difficult point in Casson version, follows almost immediatly from the definition of Δ(f).

Détail

Reçu le : 2001-10-24
Accepté le : 2001-10-31
Publié le : 2002-02-01

DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02208-2