Sur un problème de capitulation du corps $\mathbb {Q}(\sqrt {p_1p_2},\rm i)$ dont le $2$-groupe de classes est élémentaire

Azizi, Abdelmalek ; Zekhnini, Abdelkader ; Taous, Mohammed

Czechoslovak Mathematical Journal, Tome 64 (2014) no. 1, pp. 11-29.

Résumé

Let $p_1\equiv p_2\equiv 1 \pmod 8$ be primes such that $(\frac {p_1}{p_2})=-1$ and $(\frac {2}{a+b})=-1$, where $p_1p_2=a^2+b^2$. Let ${\rm i}=\sqrt {-1}$, $d=p_1p_2$, $\Bbbk =\mathbb {Q}(\sqrt {d},{\rm i})$, $\Bbbk _2^{(1)}$ be the Hilbert 2-class field and $\Bbbk ^{(*)}=\mathbb{Q} (\sqrt {p_1},\sqrt {p_2},{\rm i})$ be the genus field of $\Bbbk $. The 2-part ${\bf C}_{{\Bbbk },2}$ of the class group of $\Bbbk $ is of type $(2,2,2)$, so $\Bbbk _2^{(1)}$ contains seven unramified quadratic extensions $\mathbb K_j/\Bbbk $ and seven unramified biquadratic extensions $\mathbb {L}_j/\Bbbk $. Our goal is to determine the fourteen extensions, the group ${\bf C}_{{\Bbbk },2}$ and to study the capitulation problem of the 2-classes of $\Bbbk $. \medskip {\it Résumé. Soient $p_1\equiv p_2\equiv 1\pmod 8$ des nombres premiers tels que, $(\frac {p_1}{p_2})=-1$ et $(\frac {2}{a+b})=-1$, où $p_1p_2=a^2+b^2$. Soient ${\rm i}=\sqrt {-1}$, $d=p_1p_2$, $\Bbbk =\mathbb {Q}(\sqrt {d},{\rm i})$, $\Bbbk _2^{(1)}$ le 2-corps de classes de Hilbert de $\Bbbk $ et $\Bbbk ^{(*)}=\mathbb{Q} (\sqrt {p_1},\sqrt {p_2},{\rm i})$ le corps de genres de $\Bbbk $. La 2-partie ${\bf C}_{{\Bbbk },2}$ du groupe de classes de $\Bbbk $ est de type $(2, 2, 2)$, par suite $\Bbbk _2^{(1)}$ contient sept extensions quadratiques non ramifiées $\mathbb K_j/\Bbbk $ et sept extensions biquadratiques non ramifiées $\mathbb {L}_j/\Bbbk $. Dans ce papier on s'intéresse à déterminer ces quatorze extensions, le groupe ${\bf C}_{{\Bbbk },2}$ et à étudier la capitulation des 2-classes d'idéaux de $\Bbbk $ dans ces extensions.

Détail

DOI : 10.1007/s10587-014-0078-9

Classification : 11R27, 11R29, 11R37
Mots-clés : unit group; class group; Hilbert class field; genus field; capitulation of ideal