On estimates for the solutions to the Dirichlet problem for the Laplacian in exterior domains

P. Maremonti   ; V. A. Solonnikov

Zapiski Nauchnykh Seminarov POMI, Differential geometry, Lie groups and mechanics. Part VII, Tome 146 (1985), pp. 92-101

Résumé

Let $u(x)$ be the solution of the exterior Dirichlet problem for the equation $\Delta u=f$ vanishing at the infinity. It is shown that the coercive estimate $\| D^2u\|_{Lp)}\leq c\| f\|_{L_p}$ holds for $p<n/2$ In the case $p\geq n/2$ this estimate is established for solutions of the exterior Dirichlet problem that do not vanish at the infinity but may tend to a certain constant or even blow up as a linear function (for $p>n$). Bibl. – 2. Пусть $u$ – решение уравнения $\Delta u=f$ с финитной функцией $f$ по внешней области $\Omega\subset\mathbf{R}^u$ и с условиями $u|_{\partial\Omega}=0$, $u\to0$ при $|x|\to\infty$. Показано, что коэрцитивная оценка $\|D^2u\|_{L_p(\Omega)}\leq c\|f\|$ справедлива лишь при $p<n/2$. При $p\geq n/2$ она имеет место для решения внешней задачи Дирихле, которая не исчезает на бесконечности, а может стремиться к постоянной или даже к линейной (при $p>n$) функции. Библ. – 2 назв.