Geodesic
Aritmetika III – změny číslic vedoucí k prvočíslům aneb variace na Bertrandův postulát
Učitel matematiky, Tome 30 (2022) no. 2, pp. 77-91 Cet article a éte moissonné depuis la source Czech Digital Mathematics Library

Voir la notice de l'article

Prvočísla a otázky s nimi spojené představují často jedny z nejtěžších problémů matematiky a mnohé z nich zůstávají stále otevřené. V tomto článku se zabýváme otázkou, jak blízko ke zvolenému číslu již můžeme nalézt nějaké prvočíslo. Na základě známých tvrzení lze vyslovit hypotézu, že z každého přirozeného čísla lze již změnou nejvýše dvou číslic získat prvočíslo. Úvahy,  kterými rozvíjíme známé výsledky, jsou čistě aritmetické povahy. Vyslovená hypotéza, která je závislá na hypotéze z (Hanson, 1973) není jen zajímavým teoretickým poznatkem, ale může sloužit i pro oživené hodin matematiky, a to aktivitami, kdy žáci sami budou hledat blízká prvočísla ke zvolenému číslu.
Prvočísla a otázky s nimi spojené představují často jedny z nejtěžších problémů matematiky a mnohé z nich zůstávají stále otevřené. V tomto článku se zabýváme otázkou, jak blízko ke zvolenému číslu již můžeme nalézt nějaké prvočíslo. Na základě známých tvrzení lze vyslovit hypotézu, že z každého přirozeného čísla lze již změnou nejvýše dvou číslic získat prvočíslo. Úvahy,  kterými rozvíjíme známé výsledky, jsou čistě aritmetické povahy. Vyslovená hypotéza, která je závislá na hypotéze z (Hanson, 1973) není jen zajímavým teoretickým poznatkem, ale může sloužit i pro oživené hodin matematiky, a to aktivitami, kdy žáci sami budou hledat blízká prvočísla ke zvolenému číslu.
Classification : 11A41, 11N05 
@article{UM_2022_30_2_a1,
     author = {Kepka, Tom\'a\v{s} and Jan\v{c}a\v{r}{\'\i}k, Anton{\'\i}n and Michal, Jakub},
     title = {Aritmetika {III} {\textendash} zm\v{e}ny \v{c}{\'\i}slic vedouc{\'\i} k prvo\v{c}{\'\i}sl\r{u}m aneb variace na {Bertrand\r{u}v} postul\'at},
     journal = {U\v{c}itel matematiky},
     pages = {77--91},
     year = {2022},
     volume = {30},
     number = {2},
     language = {cs},
     url = {http://geodesic.mathdoc.fr/item/UM_2022_30_2_a1/}
}
TY  - JOUR
AU  - Kepka, Tomáš
AU  - Jančařík, Antonín
AU  - Michal, Jakub
TI  - Aritmetika III – změny číslic vedoucí k prvočíslům aneb variace na Bertrandův postulát
JO  - Učitel matematiky
PY  - 2022
SP  - 77
EP  - 91
VL  - 30
IS  - 2
UR  - http://geodesic.mathdoc.fr/item/UM_2022_30_2_a1/
LA  - cs
ID  - UM_2022_30_2_a1
ER  - 
%0 Journal Article
%A Kepka, Tomáš
%A Jančařík, Antonín
%A Michal, Jakub
%T Aritmetika III – změny číslic vedoucí k prvočíslům aneb variace na Bertrandův postulát
%J Učitel matematiky
%D 2022
%P 77-91
%V 30
%N 2
%U http://geodesic.mathdoc.fr/item/UM_2022_30_2_a1/
%G cs
%F UM_2022_30_2_a1
Kepka, Tomáš; Jančařík, Antonín; Michal, Jakub. Aritmetika III – změny číslic vedoucí k prvočíslům aneb variace na Bertrandův postulát. Učitel matematiky, Tome 30 (2022) no. 2, pp. 77-91. http://geodesic.mathdoc.fr/item/UM_2022_30_2_a1/

[1] Bachraoui, M. E.: Primes in the interval [2n,3n]. (2006). The International Journal of Contemporary Mathematical Sciences, 1, 617-621. | DOI | MR

[2] Bertrand, J: Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu'elle renferme. (1845). Journal de l'École Royale Polytechnique, 30(18), 123–140.

[3] Breusch, R.: Zur Verallgemeinerung des Bertrandschen Postulates, daß zwischen x und 2x stets Primzahlen liegen. (1932). Mathematische Zeitschrift, 18, 505-526. | DOI | MR

[4] Dirichlet, P. G. L.: Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält. (1837). Abhandlungen der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 48, 45-91.

[5] Erdös, P.: Beweis eines Satzes von Tschebyschef. (1932). Acta Litt, 5, 194-198.

[6] Gatteschi, L.: Un perfezionamento di un teorema di I. Schur sulla frequenza dei numeri primi. (1947). Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, 3(2), 123–125. | MR

[7] Hanson, D.: On a Theorem of Sylvester and Schur. (1973). Canadian Mathematical Bulletin. 16, 195-199. | DOI | MR

[8] Loo, A.: On the Primes in the Interval [3n, 4n]. (2011). International Journal of Contemporary Mathematical Sciences, 6(38), 1871-1872. | MR

[9] Nagura, J.: On the interval containing at least one prime number. (1952). Proceedings of the Japan Academy, Series A, Mathematical Sciences, 28(4), 177-181. | MR

[10] Oliveira e Silva, T., Herzog, S., Pardi, S.: Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to $4\times 10^18$. (2014). Mathematics of Computation, 83(288), 2033-2060. | DOI | MR

[11] Ramanujan, S.: A proof of Bertrand’s postulate. (1919). Journal of the Indian Mathematical Society, 11, 181-182.

[12] Rohrbach, H., Weis, J.: Berichtigung zu der Arbeit 'Zum finiten Fall des Bertrandschen Postulats'. (1964a). Journal für die reine und angewandte Mathematik, 216, 220-220. | MR

[13] Rohrbach, H., Weis, J.: Zum finiten Fall des Bertrandschen Postulats. (1964b). Journal für die reine und angewandte Mathematik, 0214_0215, 432-440. | MR

[14] Schoenfeld, L.: Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ(x) and ψ(x). II. (1976). Mathematics of Computation, 30(134), 337–360. | MR

[15] Schur, I.: Einige Sätze über Primzahlen : mit Anwendungen auf rreduzibilitätsfragen. (1929). Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften (Physikalisch-Mathematische Klasse), 126-136.

[16] Tchebichef, P. L.: Mémoire sur les nombres premiers. (1852). Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 17, 366-390.