Sur la convergence forte des répartitions des fonctionnelles des processus stochastiques. I

Yu. A. Davydov

Teoriâ veroâtnostej i ee primeneniâ, Tome 25 (1980) no. 4, pp. 782-799

Résumé

Soit $(\xi_n)$ une suite des processus stochastiques dont les trajectoires appartiennent à un espace metrique linéaire $S$. Supposons que les répartitions $P_n$ des processus $\xi_n$ convergent faiblement vers la répartition $P$ d'un processus $\xi$. Le but de l'article est la recherche des conditions qui donnent la convergence en variation des répartitions $P_nf^{-1}$ vers $Pf^{-1}$ pour certaines classes des fonctionnelles $f$. Si les répartitions $P_nf^{-1}$, $Pf^{-1}$ sont absolument continues, alors la convergence en variation est équivalente à la convergence des densités en metrique de l'espace $L_1$. Donc il s'agit de la possibilité d'obtention des théorèmes limites locaux «en même temps» pour plusieures fonctionnelles. La méthode des demonstrations se base sur l'étude du comportement des répartitions conditionnelles des fonctionnelles $f(\xi_n)$ et $f(\xi)$ par rapport d'une partition localement linéaire de l'espace $S$. A l'aide de cette méthode on obtient des résultats généraux sur la convergence forte. On les appliques aux fonctionnelles du type de supremum et aux fonctionnelles integrales. Cette méthode s'appliques aussi à la demonstration de l'existance de la densité de la répartition d'une fonctionnelle $f(\xi)$.