Über die konjugierten Ordnungen und konjugierten Typen der Abklinggeschwindigkeit eines mehrdimensionalen Wahrscheinlichkeitsgesetzen

G. Shopf

Teoriâ veroâtnostej i ee primeneniâ, Tome 24 (1979) no. 1, pp. 204-207

Résumé

In der vorliegenden Arbeit wird ein mehrdimensionales Analogon des bekannten Satzes von Ramachandran aufgestellt. Wenn $P$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß im $R^n$ ist, dann sei $$ W_P(t;a)=1- P(G_a(t))\ \text{und}\ W_P(t;b;\varkappa)= 1- P(G_b(t;\varkappa)), $$ wobei $$ G_a(t)=\biggl\{x\in R^n:\sum_{i=1}^n |x_i|^{a_i}<t\biggr\},\qquad G_b(t,\varkappa)=\biggl\{x\in R^n:\sum_{i =1}^n b_i|x_i|^{\varkappa_i}<t\biggr\}. $$ Die Abklingcharakteristiken sind als die Ränder folgender Gebiete definiert: \begin{gather*} B_{\varkappa}(P)=\biggl\{a\in\operatorname{int} R_+^n\colon \varliminf_{t\to\infty}\biggl(\ln\ln\frac{1}{W_P(t;a)}/\ln t\biggr)>1\biggr\}, \\ B_{\lambda}(P,\varkappa)=\biggl\{b\in\operatorname{int} R_{+}^{n}\colon \varliminf_{t\to\infty}\bigg(ln\frac{1}{W_{P}(t;b;\varkappa)}/t\biggr)>1 \biggr\} \end{gather*} Es wird folgender Satz bewiesen. Satz. {\it Es sei $P$ ein Wahrscheinliehkeitsmaß im $R^n$ mit ganzer charakteristischer Funktion $\varphi (z; P)$. (i) $B_{\varkappa}(P)=\{a\in R^n\colon 0<a_i<\overline{\rho}_i/(\overline{\rho}_i-1);\quad i=1,\dots,n\}$. (ii) Wenn $\varkappa_1>1,\dots,\varkappa_n>1$ ein system konjugierter Ordnungen der Abklinggeschwindigkeit von $P$ ist (d.h. $\varkappa\in\partial B_{\varkappa}(P)$), dann gilt \begin{gather*} B_{\lambda}(P;\varkappa)=\biggl\{b\in\operatorname{int} R_+^n\colon \biggl(\frac{1}{\rho_1}\biggl(\frac{1}{b_1\varkappa_1}\biggr)^{\rho_1-1},\dots, \frac{1}{\rho_n}\biggl(\frac{1}{b_n\varkappa_n}\biggr)^{\rho_n-1}\biggr) \in B_{\sigma}(\varphi;\rho), \\ \rho_i=\frac{\varkappa_i}{\varkappa_i-2};\qquad i=1,\dots,n\biggr\}. \end{gather*} Hierbei bedeuten $\overline{\rho}_i$ ($i=1,\dots,n)$ die Ordnung der Funktion $\varphi(z; P)$ bezüglich der Veränderlichen $z_i$ und $B_{\sigma}(\varphi; \rho)$ die Menge, die durch die Hyperfläche der konjugierten Typen von $\varphi (z; P)$ begrenzt ist.}