Grenzwerts\"atze \"uber gro\ss e Abweichungen f\"ur eine gewisse Klasse stochastischer Prozesse

Jürgen Gärtner

Teoriâ veroâtnostej i ee primeneniâ, Tome 21 (1976) no. 1, pp. 95-106

Résumé

In der vorliegenden Arbeit werden hinreichende Bedingungen dafür angegeben, daß der stochastische Prozeß der Gestalt $\eta_t^{\lambda}=\sqrt{\lambda}\,\eta(t/\lambda)$ für hinreichend kleine $\lambda>0$. Exponentialabschätzungen des Typs $$ \mathbf P\{\rho_C(\varepsilon\eta^{\lambda},\varphi)\delta\}>\exp\{-(S(\varphi)+h)/2\varepsilon^2\} $$ und $$ \mathbf P\{\rho_C(\varepsilon\eta^{\lambda},\Phi(s))\delta\}>\exp\{-(s-h)/2\varepsilon^2\} $$ genügt, wobei $\varepsilon=\varepsilon(\lambda)$ für $\lambda\downarrow 0$ gegen 0 konvergiert. Hierbei sind $\rho_C$ die sup-Norm, $\varphi\in C(0,1)$, $\displaystyle S(\varphi)=\int_0^1|\dot{\varphi}_t|^2\,dt$ und $\displaystyle \Phi(s)=\{\varphi\colon S(\varphi)\le s\}$. Hier bezeichnen $\delta$ und $h$ beliebig klein wählbare positive Konstanten. Die angeführten Abschätzungen ermöglichen es, das grobe asymptotische Verhalten von Wahrseheinlickeiten der Gestalt $\mathbf P\{\varepsilon\eta^{\lambda}\in A\}$ für $\lambda\downarrow 0$ zu bestimmen.