Les mesures al\'eatoires invariantes sur la sph\'ere

V. N. Tutubalin

Teoriâ veroâtnostej i ee primeneniâ, Tome 6 (1961) no. 1, pp. 125-130

Résumé

Considerons une mesure aléatoire $\mu$ sur la sphere $S$. On appelle la mesure $\mu$ invariante, si $$\mathbf M\mu(A)\mu(B)=\mathbf M\mu(gA)\overline{\mu(gB)}$$ pour toute rotation $g$ de la sphére. On a demontré la formule suivante: $$\mu(A)=\sum\limits_{m=0}^\infty{\sum\limits_{l=-m}^m\xi_m^l\int_S\overline{Y_m^l(x)}I_A (x)\,dx,}$$ ou $\xi_m^l$ sont les variables aléatoires, $\mathbf M\xi_m^l\xi_{m_1}^{l_1}=0$, si $l\ne l_1$ ou $m\ne m_1$, $$\mathbf M\bigl|\xi _m^{- m}\bigr|^2=\mathbf M\bigl|\xi _m^{- m+1}\bigr|^2=\cdots=\mathbf M\bigl|\xi _m^m\bigr|^2=a_m,\quad 0\leq a_m\leq c\infty,$$ $Y_m^l(x)$ sont les fonctions sphériques: $$ I_A (x)=\left\{{\begin{array}{*{20}c}{0,x\notin A,}\\{1,x\in A;}\\\end{array}}\right.$$ $x$ est un élém ent d'aire.