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A Note on the Number of k-Roots in Sn
Séminaire lotharingien de combinatoire, Tome 70 (2013-2014)

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The number of k-roots of an arbitrary permutation is expressed as an alternating sum of \mu-unimodal k-roots of the identity permutation. 

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Yuval Roichman. A Note on the Number of k-Roots in Sn. Séminaire lotharingien de combinatoire, Tome 70 (2013-2014). http://geodesic.mathdoc.fr/item/SLC_2013-2014_70_a8/