The Genesis of the Macdonald Polynomial Statistic

Jim Haglund

Séminaire lotharingien de combinatoire, 54A (2005-2007)

Résumé

Recently M. Haiman, N. Loehr and the author [J. Amer. Math. Soc. 18 (2005), 735-761] proved that for \mu a partition of n, the modified Macdonald polynomial H^~_\mu[z₁,...,z_n;q,t] can be expressed as a sum of monomials in the z_i times certain nonnegative integral powers of q,t with direct combinatorial descriptions (i.e. statistics). These powers are generalizations of the classical permutation statistics maj and inv. The result was first conjectured by the author [Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 101 (2004), 16127-16131], and was partially motivated by a conjectured formula for the character of the space of diagonal harmonics [Duke J. Math. 126 (2005), 195-232]. Beyond giving a long-sought after combinatorial formula for Macdonald polynomials, this result has many nice corollaries, including a simple proof of Lascoux and Schützenberger's formula, involving the statistic cocharge, for Hall-Littlewood polynomials. In this paper we describe the sequence of experimental steps and Maple calculations which led to the discovery of these Macdonald polynomial statistics.

Riassunto. In un recente lavoro in collaborazione con M. Haiman, N. Loehr [J. Amer. Math. Soc. 18 (2005), 735-761] dimostriamo che per una partizione di n, \mu, il polinomio di Macdonald modificato H^~_\mu[z₁,...,z_n;q,t] puo' essere espresso come un polinomio nelle variabili z_i i cui cofficienti sono potenze non negative di q,t. Questo risultato ha una diretta interpretazione combinatoria (o meglio statistica). Gli esponenti dei coefficienti sono una generalizzazione delle classiche statistiche di permutazione maj e inv. L'ipotesi di un tale risultato fu avanzata in [Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 101 (2004), 16127-16131] e in parte fu motivata dalla formula, in forma di congettura, per i caratteri dello spazio delle armoniche diagonali [Duke J. Math. 126 (2005), 195-232]. Questo risultato non solo da' un'interpretazione combinatoria, cercata da lungo tempo, dei polinomi di Macdonald, ma permette di derivare anche altri risultati rilevanti. Per esempio e' possibile dare una dimostrazione semplificata della formula di Lascoux and Schützenberger riguardante la statistica cocharge per i polinomi di Hall-Littlewood. In questo articolo descriviamo la sequenza di passaggi sperimentali e di calcoli fatti utilizzando Maple che portano alla scoperta della statistica dei polinomi di Macdonald.