Les nombres hyperharmoniques et la fratrie du collectionneur de vignettes

Dominique Foata ; Guo-Niu Han ; Bodo Lass

Séminaire lotharingien de combinatoire, Tome 47 (2001-2002)

Résumé

Le problème traditionnel du collectionneur de vignettes est prolongé au cas où le collectionneur fait partager sa moisson avec les membres de sa fratrie. Il reste le seul acheteur, mais donne à ses frères les images qu'il obtient en double. Quand son album est fini, les albums de ses frères ont un certain nombre d'emplacements vides. En moyenne, combien ? Nous apportons une réponse à cette question et obtenons, en outre, une expression pour la fonction génératrice multivariée des variables aléatoires en question. Le problème fait apparaî tre les nombres hyperharmoniques, qu'il faut étudier sous certains aspects, comme solutions d'équations aux différences notamment.

Abstract. The traditional coupon collector's problem is extended to the case where the collector shares his harvest with his own phratry. He remains the only coupon provider, but gives his brothers the coupons that have already appeared in his picture-book. When his book is completed, the books of the other brothers have certain numbers of empty spots. On the average, how many ? We bring an answer to this question and also derive the multivariable generating function for the random variables involved. The problem gives rise to the hyperharmonic numbers that are to be studied under various aspects, in particular as solutions of finite-difference equations.