Even Partition Functions

F. Ben saïd ; Jean-Louis Nicolas

Séminaire lotharingien de combinatoire, Tome 46 (2001-2002)

Résumé

Let A be a set of positive integers. Let us denote by p(A,n) the number of partitions of n with parts in A. While the study of the parity of the classical partition function p(N,n) (where N is the set of positive integers) is a deep and difficult problem, it is easy to construct a set A for which p(A,n) is even for n large enough: as explained in a paper of I.Z. Ruzsa, A. Sárközy and J.-L. Nicolas published in 1998 in the Journal of Number Theory, if B is a subset of {1,2,...,N}, there is a unique set A=A₀(B,N) such that the intersection of A and {1,2,...,N} is equal to B and p(A,n) is even for n>N. In this paper we recall some properties of the sets A₀(B,N), we describe the factorization into primes of the elements of the set A₀({1,2,3},3), and prove that the number of elements of this set up to x is asymptotically equivalent to c x / (log x)^3/4, where c=0.937....

Résumé. Si A est un ensemble d'entiers positifs, nous noterons p(A,n) le nombre de partitions de n dont les parts sont dans A. L'étude de la parité de la fonction usuelle de partition p(N,n)$ (où N est l'ensemble des entiers positifs) est un problème profond et difficile; mais il est facile de construire un ensemble A tel que le nombre p(A,n) soit pair pour tout n assez grand: dans un article paru au Journal of Number Theory en 1998, I.Z. Ruzsa, A. Sárközy et J.-L. Nicolas montrent que si B est un sous-ensemble de {1,2,...,N}, il existe un seul ensemble A=A₀(B,N) tel que l'intersection de A et {1,2,...,N} est égale à B et p(A,n) est pair pour n>N. Dans cet article, nous rappelons quelques propriétés des ensembles A=A₀(B,N), nous décrivons la décomposition en facteurs premiers des éléments de A₀({1,2,3},3) et nous montrons que le nombre des éléments de cet ensemble inférieurs à x est équivalent à c x / (log x)^3/4, où c=0.937....