Multiplication des matrices et vecteurs de Witt

Henri Gaudier

Séminaire lotharingien de combinatoire, Tome 21 (1989)

Résumé

Dans la théorie classique des invariants, on considère k un corps algébriquement clos de caractéristique 0, et GL_n,k le groupe des matrices inversibles n x n sur k. On s'intéresse aux représentations linéaires de GL_n,k, c'est à dire aux actions: GL_n,k x V -> V, où V est un espace vectoriel sur k, ou bien aux homomorphismes de groupes: \rho : GL_n,k -> GL(V) = GL_m,k, qui sont rationnels, et même polynômiaux, c'est à dire que pour tout i',j', \rho((x_i,j))_i',j' in k[x_i,j]. Le morphisme \rho se prolonge alors en un homomorphisme multiplicatif: \rho : M_n,k -> M_m,k, qui est lui aussi polynômial.

Le but de ce travail est de construire un anneau, noté LM_n,k, tel que tout morphisme \rho ayant les propriétés précédentes ait une décomposition:

M_n,k -> LM_n,k -> M_m,k, où la première flèche est un homomorphisme multiplicatif fixé, et la seconde est un homomorphisme d'anneaux déterminé de fa\c con unique par \rho. La donnée d'une représentation polynômiale de M_m,k sera donc équivalente à celle d'un module sur l'anneau LM_n,k. On peut donc, de ce point de vue considérer LM_n,k comme l'algèbre du monoï de M_n,k.