La démonstration des identités de Gordon et MacMahon et de deux identités nouvelles

Jacques Désarménien

Séminaire lotharingien de combinatoire, Tome 15 (1986)

Résumé

Les identités de Gordon et de MacMahon peuvent être interprétées comme les fonctions génératrices des tableaux semi-standard en des puissances de q, les exposants étant les entiers de 1 à n pour Gordon et les entiers impairs de 1 à (2n-1) pour MacMahon. La forme de ces tableaux est quelconque, mais leur longueur est limitée. MacMahon conjectura son identité dans la terminologie des partitions planes; le passage aux tableaux semi-standard est facile et classique. Gordon, de son côté, démontra son identité, mais publia sa démonstration beaucoup plus tard.

Les deux identités furent démontrées simultanément par Andrews et Macdonald. La démonstration d'Andrews est essentiellement un calcul de déterminant, nécessitant de nombreuses manipulations de lignes et de colonnes; le résultat apparaît finalement assez miraculeux. La démonstration de Macdonald a l'avantage de se rattacher à un modèle classique, celui des systèmes de racines, et les manipulations, assez nombreuses aussi, y sont un peu plus naturelles.

Dans la présente note, nous donnons les grandes étapes de la démonstration de Macdonald et nous indiquons brièvement comment, par la même méthode, on obtient deux identités qui généralisent une identité de Desainte-Catherine et Viennot.