Geodesic
Courbure et sous-ensembles de courbes rectifiables dans le groupe de Heisenberg
Ferrari, Fausto1 ; Franchi, Bruno1  ; Pajot, Hervé2 
1 Department of Mathematics University of Bologna Piazza di Porta S. Donato, 5 40127 Bologna, Italy
2 University of Grenoble I Fourier Institute Department of mathematics 100 rue des maths BP 74 38402 Saint-Martin d’Hères, France
Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2005-2006), Exposé no. 12, 10 p.

Voir la notice de l'acte provenant de la source Numdam

Nous présentons une condition suffisante pour qu’un compact dans le groupe de Heisenberg (muni de sa structure de Carnot-Carathéodory) soit contenu dans une courbe rectifiable. Cette condition est aussi nécessaire dans le cas de courbes régulières (en particulier, des géodésiques) et elle est inspirée du lemme géométrique faible du à Peter Jones dans le cas euclidien. Cette note repose sur l’exposé fait par le troisième auteur (au Séminaire X-EDP) et décrit les principaux résultats de l’article [FFP1].

Ferrari, Fausto 1 ; Franchi, Bruno 1 ; Pajot, Hervé 2

1 Department of Mathematics University of Bologna Piazza di Porta S. Donato, 5 40127 Bologna, Italy
2 University of Grenoble I Fourier Institute Department of mathematics 100 rue des maths BP 74 38402 Saint-Martin d’Hères, France 
@article{SEDP_2005-2006____A12_0,
     author = {Ferrari, Fausto and Franchi, Bruno and Pajot, Herv\'e},
     title = {Courbure et sous-ensembles de courbes rectifiables dans le groupe de {Heisenberg}},
     journal = {S\'eminaire \'Equations aux d\'eriv\'ees partielles (Polytechnique) dit aussi "S\'eminaire Goulaouic-Schwartz"},
     note = {talk:12},
     pages = {1--10},
     publisher = {Centre de math\'ematiques Laurent Schwartz, \'Ecole polytechnique},
     year = {2005-2006},
     mrnumber = {2276077},
     language = {fr},
     url = {http://geodesic.mathdoc.fr/item/SEDP_2005-2006____A12_0/}
}
TY  - JOUR
AU  - Ferrari, Fausto
AU  - Franchi, Bruno
AU  - Pajot, Hervé
TI  - Courbure et sous-ensembles de courbes rectifiables dans le groupe de Heisenberg
JO  - Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz"
N1  - talk:12
PY  - 2005-2006
SP  - 1
EP  - 10
PB  - Centre de mathématiques Laurent Schwartz, École polytechnique
UR  - http://geodesic.mathdoc.fr/item/SEDP_2005-2006____A12_0/
LA  - fr
ID  - SEDP_2005-2006____A12_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Ferrari, Fausto
%A Franchi, Bruno
%A Pajot, Hervé
%T Courbure et sous-ensembles de courbes rectifiables dans le groupe de Heisenberg
%J Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz"
%Z talk:12
%D 2005-2006
%P 1-10
%I Centre de mathématiques Laurent Schwartz, École polytechnique
%U http://geodesic.mathdoc.fr/item/SEDP_2005-2006____A12_0/
%G fr
%F SEDP_2005-2006____A12_0
Ferrari, Fausto; Franchi, Bruno; Pajot, Hervé. Courbure et sous-ensembles de courbes rectifiables dans le groupe de Heisenberg. Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2005-2006), Exposé no. 12, 10 p. http://geodesic.mathdoc.fr/item/SEDP_2005-2006____A12_0/

[BBI] D. Burago, Y. Burago, S. Ivanov, A course in metric geometry, Graduate Studies in Mathematics 33 (2001), American Mathematical Society. | Zbl | MR

[Ca] A. P. Calderón, Cauchy integrals on Lipschitz curves and related operators, Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA Volume 74 (1977), p 1324-1327. | Zbl | MR

[CMM] R. Coifman, A. McIntosh, Y. Meyer, L’opérateur de Cauchy définit un opérateur borné sur L 2 sur les courbes lipschitziennes, Annals of Mathematics Volume 116 (1982), p 361-388. | Zbl

[DS] G. David, S. Semmes, Analysis of and on uniformly rectifiable sets, Mathematical Surveys and Monographs Volume 38 (1993), American Mathematical Society. | Zbl | MR

[FFP1] F. Ferrari, B. Franchi, H. Pajot, The geometric traveling salesman problem in the Heisenberg group, à paraitre dans Revista Matemàtica Iberomaericana.

[FFP2] F. Ferrari, B. Franchi, H. Pajot, en préparation.

[Ha1] I. Hahlomaa, Menger curvature and Lipschitz parametrizations in metric spaces, Fundamenta Mathematicae 185 (2005), p 143-169. | Zbl | MR

[Ha2] I. Hahlomaa, Curvature integral and Lipschitz parametrization of 1-regular metric spaces, Preprint (2005), University of Jyväskylä. | Zbl | MR

[J1] P. W. Jones, Square functions, Cauchy integrals, analytic capacity, and harmonic measure, in “Harmonic analysis and partial differential equations”, Lecture Notes in Mathematics Volume 1384 (1989), Springer-Verlag, 24–68. | Zbl

[J2] P. Jones, Rectifiable sets and the traveling salesman problem, Inventiones Mathematicae 102 (1990), 1–15. | Zbl | MR

[LR] G. P. Leonardi, S. Rigot, Isoperimetric sets on Carnot groups, Houston Journal of Mathematics 29 (2003) p 603-637. | Zbl | MR

[Ma] P. Mattila, Geometry of sets and measures in Euclidean spaces, Cambridge Studies in Advanced Mathematics Volume 44, Cambridge University Press (1995). | Zbl | MR

[MMV] P. Mattila, M. Melnikov, J. Verdera, The Cauchy integral, analytic capacity, and uniform rectifiability, Annals of Mathematics Volume 144 (1996), p 127-136. | Zbl | MR

[Ok] K. Okikiolu, Characterizations of subsets of rectifiable curves in ℝ n , Journal of the London Mathematical Society 46 (1992), 336–348. | Zbl | MR

[Pa1] H. Pajot, Sous-ensembles de courbes Ahlfors-régulières et nombre de Jones, Publicacions Matemàtiques 40, 497–526. | Zbl | MR

[Pa2] H. Pajot, Analytic capacity, rectifiability, Menger curvature and the Cauchy integral, Lecture Notes in Mathématiques Volume 1799, Springer (2002). | Zbl | MR

[P1] P. Pansu, Géométrie du Groupe d’Heisenberg, Thèse pour le titre de Docteur de 3ème cycle, Université Paris VII, (1982).

[P2] P. Pansu, Une inégalité isopérimétrique sur le groupe de Heisenberg, C. R. Acad. Sci. Paris, 295, I, (1982), 127–130. | Zbl | MR

[Sc] R. Schul, Subset of rectifiable curves in Hilbert space and the analyst’s TSP, Phd dissertation, Yale University (2005).