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Uno sguardo alla geometria proiettivo-differenziale
Matematica, cultura e società, Série 1, Tome 7 (2022) no. 2, pp. 97-119.

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La geometria proiettivo-differenziale è una disciplina che si situa in un territorio di confine tra la geometria algebrica e gli sviluppi analitici propri della geometria differenziale. Essa ha come oggetto lo studio di proprietà analitico-differenziali di sottovarietà di uno spazio proiettivo reale o complesso, invarianti per l'azione del gruppo delle proiettività. Obiettivo di questo articolo è di ripercorrere, a grandi linee e senza entrare in troppi dettagli tecnici, lo sviluppo storico della geometria proiettivo-differenziale, con una particolare attenzione agli importanti contributi italiani a questa disciplina concentrati nella prima metà del XX secolo.
Projective differential geometry lies at the boundary between algebraic geometry and differential geometry. It studies analytic-differential properties of subvarieties of a real or complex projective space, invariant by the action of the projective group. The aim of this paper is to follow, with a wide perspective and without entering in too many technical details, the historical developments of projective differential geometry, with a special focus on the important Italian contributions that are mainly concentrated in the first half of the XX century. 
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[1] M. Akivis, V. Goldberg, Projective Differential Geometry of Submanifolds, Elsevier, 1993. | MR | Zbl

[2] M. Akivis, V. Goldberg, Differential Geometry of Varieties with Degenerate Gauss Maps, Springer Science and Business Media, 2006. | DOI | MR | Zbl

[3] A. M. Ampère, Mémoire sur les avantages qu'on peut retirer dans la théorie des courbes de la considération des paraboles osculatrices, avec de reflexions sur le fonctions différentielles dont la valeur ne change pas lors de transformation des axes, J. Ècole Polyth., 7 (1808), 151-191.

[4] L. Berzolari, Sugli invarianti differenziali proiettivi delle curve di un iperspazio, Ann. di Mat. pura e applicata,26 (2) (1897), 1-58.

[5] L. Bianchi, Lezioni di geometria differenziale, Spoerri, 1903, seconda ed. Zanichelli, Bologna, 1923.

[6] G. Boole, A Treatise on Differential Equations, Macmillan, Cambridge, 1859. | Zbl

[7] E. Bompiani, Sull'equazione di Laplace, Rend. del Circolo Mat. di Palermo, 34 (1912), 383-407.

[8] E. Bompiani, Proprietà caratteristiche di enti algebrici, Mem. Accad. Lincei, (5) 13 (1921), 451-474. | Zbl

[9] E. Bompiani, Dopo cinquant'anni dall'inizio della geometria proiettiva differenziale secondo G. Fubini, Rend.Sem. Mat. Torino, 25 (1966), 83-106. | MR | Zbl

[10] F. Cajori, A History of Mathematical Notations, voll. 1-2, Open Court Publishing Company, 1928-1929. | MR

[11] E. Cartan, Lecons sur la Théorie des Espaces à connexion projective, Gauthiers-Villars, Paris, 1937. | MR | Zbl

[12] E. Cartan, La théorie des groupes finis et continus et la géométrie différentielle, traitées par la méthode du reperè mobile. Lecons professées a la Sorbonne. La théorie des groupes finis et continus et la géométrie différentielle, Gauthier-Villars, Paris, 1951. | MR | Zbl

[13] E. Cartan, Sur l'applicabilité projective des surfaces, C.R. Acad. Sci., 171 (1920). | MR | Zbl

[14] E. Cartan, Sur la déformation projective des surfaces, Annales scientifiques de l'É.N.S., (3) 37 (1920), 259-356. | fulltext EuDML | MR | Zbl

[15] E. Cartan, Sur la connexion projective des surfaces, C.R. Acad. Sci., 178 (1924), 750-752. | Zbl

[16] E. Cartan, Sur le variétés à connection projective, Bull. S.M.F., 52 (1924), 205-241. | fulltext EuDML | MR | Zbl

[17] E. Cartan, Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisé (première partie), Annales Scientifiques de l'école Normale Supérieure, 40(1923), 325-412. | fulltext EuDML | MR | Zbl

[18] A. Cayley, On a new analytical representation of curvesin space, Q. J. Pure Appl. Math., 3 (1860), 225-236.

[19] A. Cayley, On reciprocants and differential invariants, Quarterly J. of Pure and Appl. Math., 26 (1893), 169-194, 289-307. | Zbl

[20] S. S. Chern, American differential geometry-Some personal notes, in “A century of mathematics in America”, Duren, Peter L., et al., edit., American Mathematical Soc., 1988. | DOI | MR

[21] S. S. Chern, A Mathematician and His Mathematical Work: Selected Papers, World Scientific, 1996. | MR | Zbl

[22] C. Ciliberto, E. Sernesi, Singularities of the theta divisor and congruences of planes, J. of Algebraic Geometry, 1 (1992), 231-250. | MR | Zbl

[23] J. L. Coolidge, Corrado Segre, Bulletin of the American Mathematical Society, 33 (3) (1927), 352-357. | DOI | MR

[24] G. Darboux, Lecons sur la théorie générale des surfaces et le applications géométriques du calcul infinitésimale, vol.I-IV, Gauthier-Villars, Paris, 1889-1896, reprinted by Chelsea, New York, 2003. | MR

[25] G. Darboux, Sur le contact des courbes et des surfaces, Bull. Sc. math., 4 (2), (1880), 356-358. | fulltext EuDML | Zbl

[26] P. Del Pezzo Sugli spazii tangenti ad una superficie o ad una varietà immersa in uno spazio a più dimensioni, Rend. R. Acc. delle Scienze Fisiche e Mat. di Napoli, 25(1886), 176-180. | Zbl

[27] L. Euler, Introductio in analysis infinitorum, Lausanne, Marcum-Michaelem Bousquet, 1748.

[28] L. Euler, De solidis quorum superficiem in planum explicare licet, Novi commentarii academiae scientiarvm imperiatis Petropolitanae, 16 (1771), 3-34; Rist. Leonhardi Euleri Opera Omnia: Series 1, 28, 161-186.

[29] G. Fano, La théorie des groupes continus et la géometrie, traduzione commentata di E. Cartan (1869-1951) dell'articolo di G. Fano per la Enzyklopädie der Mathematische Wisseschaften, Vol. III, 1A (1907-1910).

[30] G. Fubini, Definizione proiettivo-differenziale di una superficie, Atti Accad. Torino, 49 (1914). | Zbl

[31] G. Fubini, Invarianti proiettivo differenziali delle curve tracciate su una superficie e definizione proiettivo-differenziale di una superficie, Ann. di Mat. pura e appl., 25(3), (1916), 229-252. | Zbl

[32] G. Fubini, Introduzione alla Geometria proiettiva differenziale d'una superficie, Introduzione alla seconda edizione di [5], (1923). | DOI | MR

[33] G. Fubini, E. Cech, Geometria proiettiva differenziale, Zanichelli, Bologna, 1926. | fulltext EuDML

[34] G. Fubini, E. Cech, Introduction á la Géométrie projective différentielle des surface, Gauthier-Villars, Paris, 1931. | fulltext EuDML | Zbl

[35] H. Grassmann, Die Lineale Ausdehnungslehre, Leipzig, 1844. | Zbl

[36] G. Green, Memoir on the general theory of surfaces and rectilinear congruences, Transactions of the American Mathematical Society, 20 (2) (1919), 79-153. | DOI | MR | Zbl

[37] Ph. Griffiths, On Cartan's method of Lie groups and moving frames as applied to uniqueness and existence questions in differential geometry, Duke Math. J., 41(1974), 775-814. | MR | Zbl

[38] Ph. Griffiths, J. Harris, Algebraic geometry and local differential geometry, Ann. Sci. Éc. Norm. Sup., (4) 12(1979), 355-452. | fulltext EuDML | MR | Zbl

[39] G. H. Halphen, Sur la recherche des points d'une courbè algébrique plane, qui satisfont a une condition exprimée par une équation différentielle algébrique, et sur les questions analogues dans l'espace, Le Journal de math.,12 (1876), 371-408. | fulltext EuDML | DOI | MR | Zbl

[40] G. H. Halphen, Sur les invariants differéntiels, Gauthier Villars, Paris, 1878. | Zbl

[41] G. H. Halphen, Sur les invariants differéntiels des courbes gauches, Journ. de l'école Polytech., 28 (1880).

[42] T. A. Ivey, J. M. Landsberg, Cartan for beginners: differential geometry via moving frames and exterior differential systems, American Mathematical Society, Providence, RI, 61, 2003. | DOI | MR | Zbl

[43] G. R. Jensen, E. Musso, Rigidity of hypersurfacesin complex projective space, Annales scientifiques dé l'É.N.S. 4e série, tome 27, no 2, (1994), 227-248. | fulltext EuDML | MR | Zbl

[44] F. Klein, Gesammelte Mathematische Abhandlungen, Vol. I-III, Berlin, 1921-1923. | MR

[45] F. Klein, Zur Theorie der Liniencomplexe des erstenund zweiten Grades, Mathematische Annalen, 2 (1870),198-226. | fulltext EuDML | DOI | MR

[46] J. L. Lagrange, Sur la construction des cartes géographiques, Nouveaux mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres de Berlin, (1779) Premier mémoire, Oeuvres complètes, 4, 637-664. Second mémoire, Oeuvres completes, 4, 664-692.

[47] E. P. Lane, A Treatise on Projective Differential Geometry, The University of Chicago press, 1943. | MR

[48] E. P. Lane, Wilczynski's and Fubini's canonical systems of differential equations, Bulletin of the American Mathematical Society, 32.4 (1926), 365-373. | DOI | MR | Zbl

[49] E. P. Lane, Ernest Julius Wilczynski, Amer. Math. Monthly, 39 (1932), 567-569. | MR

[50] A. Lascoux, The differential equation satisfied by a plane curve of degree n, Bull. Sci. Math., 130 (2006), 354-359. | DOI | MR | Zbl

[51] E. E. Levi, Saggio sulla teoria delle superfcie a due dimensioni immerse in un iperspazio, Atti R. Scuola Norm. Sup. Pisa, 10 (1905), 1-99. | fulltext EuDML | MR | Zbl

[52] S. Lie, On differential invariants, Math. Annalen, 24(1884), 537-578. Traduzione inglese commentata da R. Hermann, in Sophus Lie's 1884 Differential Invariant Paper, traduzione di Michael Ackerman, Brookline, Mass.(Math. Sci. Press). 1976. | fulltext EuDML | DOI | MR | Zbl

[53] S. Lie, G. Scheffers, Geometrie der Berührungstranformationen, Teubner, Leipzig, 1896, rist. da Chelsea, New York, 1977.

[54] G. Loria, Intorno a la vita e le opere di Gaetano Giorgini, Giorn. Mat. Batt., 31 (1893).

[55] G. Monge, Sur les développées des courbes á double courbure et leurs inflexions, Journal encyclopédiquee, (1769), 284-287.

[56] G. Monge, Mémoire sur les propriétés de plusieurs genresde surfaces courbes, particulièrment sur celles des surfces d'eveloppables, avec une application à la theorie des ombres et des pénombres. Mémoires de divers scavants, 9(1780), 593-624 (scritto nel 1775).

[57] G. Monge, Mémoire sur les développées, les rayons dècourbure, et les différents genres d'inflexions des courbes a double courbure. Mémoires de divers scavans 10, 511-550 (scritto nel 1771).

[58] G. Monge, Géométrie descriptive, Baudouin, Paris, 1794-95. | MR

[59] G. Monge, Sur les Equations differentielles de courbes du second degré, Corresp. sur l'école Polyetch., Paris, II, (1809-13), 51-54.

[60] E. L. Malus, Théorie de la double réfraction de la lumière dans les substances cristallisés, Garnery, Paris, 1810.

[61] A. F. Möbius, Lehrbuch der statik, Göschen, 1837.

[62] J. Plücker, Neue Geometrie des Raumes: gegründet auf die Betrachtung der geraden Linie als Raumelement, Teubner, 1868. | Zbl

[63] H. Poincaré, Notice sur Halphen, Journal de l'école Polytechnique, 60 (1890), 137-161. | Zbl

[64] S. Roberts, Educational Times, Mathematical questions and solutions, 10, 47.

[65] D. E. Rowe, Three Letters from Sophus Lie to Felix Klein on Parisian Mathematics during the Early 1880's, The Mathematical Intelligencer, 7 (3), 1985, 74-77. | DOI | MR | Zbl

[66] D. E. Rowe, Geometry and the Emergence of Transformation Groups, The Early Geometrical Works of Sophus Lie and Felix Klein, in “The Hystory of Modern Mathathematics”, Vol. 2, Academic Press, 1988. | MR

[67] F. Russo, On the geometry of some special projective varieties, UMI-Springer Lecture Notes in Math., 18, 2016. | DOI | MR

[68] B. Segre, Opere scelte, Cremonese, Roma, 1987-2000.

[69] B. Segre, Généralisation de la trasformation de Laplace, C. R. Acad. Sci. Paris, 183 (1926), 1238-1250. | Zbl

[70] C. Segre, Su alcuni punti singolari delle curve algebriche, e sulla linea parabolica di una superficie, Atti R. Accad. Lincei, 6 (1897), 168-175. | Zbl

[71] C. Segre, Su una classe di superficie degl'iperspazi legate colle equazioni lineari alle derivate parziali di 2o ordine, Atti R. Accad. Sci. Torino, 42 (1906-07), 1047-1079. | Zbl

[72] C. Segre, Sulle congruenze rettilinee W aderenti a due superficie rigate, Atti R. Accad. Torino, 42 (1906-07), 539-550. | Zbl

[73] C. Segre, Sulle congruenze rettilinee W di cui una od ambe le falde focali sono rigate, Atti R. Accad. Torino, 49(1913-14), 257-269. | Zbl

[74] C. Segre, Complementi alla teoria delle tangenti coniugate di una superficie, Atti R. Accad. Lincei, 17 (1908), 405-412. | Zbl

[75] C. Segre, Preliminari di una teoria delle varietà luoghi di spazi, Rend. Circ. Mat. Palermo, 30 (1910), 87-121.

[76] J. J. Sylvester, On the method of reciprocants as containing an exhaustive theory of the singularities of curves, Nature, 33 (1886), 222-231. | DOI | MR

[77] J. J. Sylvester, Lectures on the theory of reciprocants, Amer. J. of Math, 9 (4) (1887), 297-352. | DOI | MR | Zbl

[78] R. Taton, Gaspar Monge, Birkhäuser, Basel, 1950. | MR

[79] A. Terracini, Sulle $V_k$ per cui la varietà degli $S_h$$(h+1)$-seganti ha dimensione minore dell'ordinario, Rend. del Circolo Mat. di Palermo, 31, (1911), 392-396. | Zbl

[80] A. Terracini, Alcune questioni sugli spazi tangenti osculatori ad una varietà, (3 articoli), Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino, 49 (1913), 51 (1916), 55 (1920). | Zbl

[81] A. Terracini, Sull'elemento lineare proiettivo di una superficie, Rend. della R. Acc. Nazionale dei Lincei, (6) 3(1926), 267-271. | MR

[82] A. Terracini, Sul significato geometrico della normale proiettiva, Rend. della R. Acc. Nazionale dei Lincei, (6) 3(1926), 584-591. | Zbl

[83] A. Terracini, Sui sistemi semplicemente infiniti di piani nello spazio a cinque dimensioni, Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino, 63, (1937-38). | Zbl

[84] A. Terracini, Guido Fubini e la geometria proiettiva differenziale, Rend. del Sem. Mat. dell'Univ. e Politecnico di Torino, 9 (1949-50), 97-123. | MR

[85] A. Terracini, Prefazione al secondo volume delle opere di C. Segre, Cremonese, Roma, 1958. | MR

[86] A. Terracini, Esposizione di alcuni risultati di geometria proiettiva differenziale negli iperspazi, appendice al volume [33].

[87] E. J. Wilczynski, Projective differential geometry of curves and ruled surfaces, Teubner, Leipzig, 1906. | MR | Zbl

[88] F. Zak, Tangents and Secants of Algebraic Varieties, Translations of Mathematical Monographs, American Mathematical Society, 127, 1993. | DOI | MR | Zbl