Geodesic
On the space of real algebraic morphisms
Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni, Série 9, Tome 14 (2003) no. 4, pp. 307-317.

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In this Note, we announce several results concerning basic properties of the spaces of morphisms between real algebraic varieties. Our results show a surprising intrinsic rigidity of Real Algebraic Geometry and illustrate the great distance which, in some sense, exists between this geometry and Real Nash one. Let us give an example of this rigidity. An affine real algebraic variety $X$ is rigid if, for each affine irreducible real algebraic variety $Z$, the set of all nonconstant regular morphisms from $Z$ to $X$ is finite. We are able to prove that, given a compact smooth manifold $M$ of positive dimension, there exists an uncountable family $\{ M_{i}\}_{i \in I}$ of rigid affine nonsingular real algebraic varieties diffeomorphic to $M$ such that, for each $i \neq j$ in $I$, $M_{i}$ is not biregularly isomorphic to $M_{j}$.
In questa Nota, annunciamo alcuni risultati ri- guardanti proprietà basilari degli spazi di morfismi tra varietà algebriche reali. I nostri risultati mostrano una sorprendente rigidità intrinseca della Geometria Algebrica Reale ed illustrano la grande distanza che, in un certo senso, esiste tra questa geometria e quella Nash reale. Diamo un esempio di questa rigi- dità. Una varietà algebrica reale affine $X$ è rigida se, per ogni varietà algebrica reale affine irriducibile $Z$, l’insieme dei morfismi regolari noncostanti da $Z$ in $X$ è finito. Siamo in grado di dimostrare che, data una varietà differenziabile compatta $M$ di dimensione positiva, esiste una famiglia non-numerabile $\{ M_{i}\}_{i \in I}$ di varietà algebriche reali affini nonsingolari rigide diffeomorfe a $M$ tali che, per ogni $i \neq j$ in $I$, $M_{i}$ non è biregolarmente isomorfa a $M_{j}$. 
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Ghiloni, Riccardo. On the space of real algebraic morphisms. Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni, Série 9, Tome 14 (2003) no. 4, pp. 307-317. http://geodesic.mathdoc.fr/item/RLIN_2003_9_14_4_a3/

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