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A Note on squares in arithmetic progressions, II
Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni, Série 9, Tome 13 (2002) no. 2, pp. 69-75.

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We show that the number of squares in an arithmetic progression of length $N$ is at most $c_{1}N^{3/5}(\log N)^{c_{2}}$, for certain absolute positive constants $c_{1}$, $c_{2}$. This improves the previous result of Bombieri, Granville and Pintz [1], where one had the exponent $\frac{2}{3}$ in place of our $\frac{3}{5}$. The proof uses the same ideas as in [1], but introduces a substantial simplification by working only with elliptic curves rather than curves of genus $5$ as in [1].
Si dimostra che il numero di quadrati in una progressione aritmetica di lunghezza $N$ non supera $c_{1}N^{3/5}(\log N)^{c_{2}}$, per due costanti positive assolute $c_{1}$, $c_{2}$. Questo teorema migliora il precedente risultato di Bombieri, Granville e Pintz [1], dove si aveva l’esponente $\frac{2}{3}$ al posto del nuovo esponente $\frac{3}{5}$. La dimostrazione si basa sulle idee introdotte in [1], con una importante semplificazione ottenuta lavorando con curve ellittiche invece che con curve di genere $5$ come in [1]. 
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[1] E. Bombieri - A. Granville - J. Pintz, Squares in arithmetic progressions. Duke Math. J., 66, 1992, 369-385. | fulltext mini-dml | DOI | MR | Zbl

[2] E. Szemerédi, The number of squares in arithmetic progressions. Stud. Sci. Math. Hungar., 9, 1974, 417. | MR | Zbl

[3] H.G. Zimmer, On the difference of the Weil height and the Néron-Tate height. Math. Z., 147, 1976, 35-51. | fulltext EuDML | MR | Zbl