Geodesic
Remarks on Weil’s quadratic functional in the theory of prime numbers, I
Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni, Série 9, Tome 11 (2000) no. 3, pp. 183-233.

Voir la notice de l'article provenant de la source Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

This Memoir studies Weil’s well-known Explicit Formula in the theory of prime numbers and its associated quadratic functional, which is positive semidefinite if and only if the Riemann Hypothesis is true. We prove that this quadratic functional attains its minimum in the unit ball of the $L^{2}$-space of functions with support in a given interval $\left[ -t,t \right]$, and prove again Yoshida’s theorem that it is positive definite if $t$ is sufficiently small. The Fourier transform of the functional gives rise to a quadratic form in infinitely many variables and we then study its finite truncations and corresponding eigenvalues. In particular, if the Riemann Hypothesis is false but only with finitely many non-trivial zeros off the critical line we show that the number of negative eigenvalues is precisely one-half of the number of zeros failing to satisfy the Riemann Hypothesis, provided the truncation is big enough.
Questa Memoria studia la nota Formula Esplicita di Weil nella teoria dei numeri primi e il funzionale quadratico associato ad essa. Questo funzionale è positivo semidefinito se e solo se l’Ipotesi di Riemann è valida. Dimostriamo qui che il minimo di questo funzionale nello spazio delle funzioni $L^{2}$ con supporto compatto nell’intervallo $\left[ -t,t \right]$ è raggiunto, e dimostriamo nuovamente il risultato di Yoshida che dà la positività per $t$ sufficientemente piccolo. La trasformata di Fourier del funzionale dà luogo ad una forma quadratica in un numero infinito di variabili, e ne studiamo i suoi troncamenti finiti e gli autovalori corrispondenti. In particolare, se l’Ipotesi di Riemann è falsa ma solamente con un numero finito di eccezioni, si dimostra che il numero di autovalori negativi è la metà del numero di eccezioni all’Ipotesi di Riemann, purché il troncamento sia abbastanza grande. 
@article{RLIN_2000_9_11_3_a4,
     author = {Bombieri, Enrico},
     title = {Remarks on {Weil{\textquoteright}s} quadratic functional in the theory of prime numbers, {I}},
     journal = {Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni},
     pages = {183--233},
     publisher = {mathdoc},
     volume = {Ser. 9, 11},
     number = {3},
     year = {2000},
     zbl = {1008.11034},
     mrnumber = {1702145},
     language = {en},
     url = {http://geodesic.mathdoc.fr/item/RLIN_2000_9_11_3_a4/}
}
TY  - JOUR
AU  - Bombieri, Enrico
TI  - Remarks on Weil’s quadratic functional in the theory of prime numbers, I
JO  - Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni
PY  - 2000
SP  - 183
EP  - 233
VL  - 11
IS  - 3
PB  - mathdoc
UR  - http://geodesic.mathdoc.fr/item/RLIN_2000_9_11_3_a4/
LA  - en
ID  - RLIN_2000_9_11_3_a4
ER  - 
%0 Journal Article
%A Bombieri, Enrico
%T Remarks on Weil’s quadratic functional in the theory of prime numbers, I
%J Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni
%D 2000
%P 183-233
%V 11
%N 3
%I mathdoc
%U http://geodesic.mathdoc.fr/item/RLIN_2000_9_11_3_a4/
%G en
%F RLIN_2000_9_11_3_a4
Bombieri, Enrico. Remarks on Weil’s quadratic functional in the theory of prime numbers, I. Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni, Série 9, Tome 11 (2000) no. 3, pp. 183-233. http://geodesic.mathdoc.fr/item/RLIN_2000_9_11_3_a4/

[1] E. Bombieri - J.C. Lagarias, Complements to Li’s criterion for the Riemann Hypothesis. J. Number Theory, 77, 1999, 274-287. | DOI | MR | Zbl

[2] A.P. Guinand, Summation Formulae and Self-reciprocal Functions (III). Quarterly J. Math., 13, 1942, 30-39. | MR | Zbl

[3] A.E. Ingham, The distribution of prime numbers. Cambridge Tracts, 30, Cambridge 1932. | Jbk 58.0193.02 | Zbl

[4] X.-J. Li, The positivity of a sequence of numbers and the Riemann Hypothesis. J. Number Theory, 65, 1997, 325-333. | DOI | MR | Zbl

[5] H. Yoshida, On Hermitian Forms attached to Zeta Functions. In: N. Kurokawa - T. Sunada (eds.), Zeta Fuctions in Geometry. Advanced Studies in Pure Mathematics, 21, Mathematical Society of Japan, Kinokuniya, Tokyo 1992, 281-325. | MR | Zbl

[6] A. Weil, Sur les "formules explicites" de la théorie des nombres premiers. Meddelanden Från Lunds Univ. Mat. Sem. (dedié a M. Riesz), 1952, 252-265. | MR | Zbl

[7] E.T. Whittaker - G.N. Watson, A Course of Modern Analysis. Fourth edition, Cambridge University Press, Cambridge 1952. | Jbk 45.0433.02 | MR | Zbl