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Functionals with $p(x)$ growth and regularity
Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni, Série 9, Tome 11 (2000) no. 3, pp. 169-174.

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We consider the integral functional $\int f(x,Du) dx$ under non standard growth assumptions of $(p,q)$-type: namely, we assume that $|z|^{p(x)} \le f(x,z) \le L(1 + |z|^{p(x)})$, a relevant model case being the functional $\int |Du|^{p(x)} dx$. Under sharp assumptions on the continuous function $p(x) > 1$ we prove regularity of minimizers both in the scalar and in the vectorial case, in which we allow for quasiconvex energy densities. Energies exhibiting this growth appear in several models from mathematical physics.
Consideriamo il funzionale integrale $\int f(x,Du) dx$ sotto ipotesi di crescita non standard di tipo $(p,q)$: precisamente, supponiamo che $|z|^{p(x)} \le f(x,z) \le L(1 + |z|^{p(x)})$, ottenendo un funzionale il cui modello è $\int |Du|^{p(x)} dx$. In ipotesi ottimali sulla funzione continua $p(x) > 1$, dimostriamo la regolarità dei minimi sia nel caso scalare che vettoriale, nel quale copriamo anche il caso di densità di energia quasiconvesse. Energie con crescite come quelle considerate compaiono in diversi modelli della fisica matematica. 
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Acerbi, Emilio; Mingione, Giuseppe. Functionals with $p(x)$ growth and regularity. Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni, Série 9, Tome 11 (2000) no. 3, pp. 169-174. http://geodesic.mathdoc.fr/item/RLIN_2000_9_11_3_a2/

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