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A decay estimate for a class of hyperbolic pseudo-differential equations
Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni, Série 9, Tome 10 (1999) no. 3, pp. 173-190.

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We consider the equation \( u_{t} − i \Lambda u = 0 \), where \( \Lambda = \lambda(D_{x}) \) is a first order pseudo-differential operator with real symbol \( \lambda (\xi) \). Under a suitable convexity assumption on \( \lambda \) we find the decay properties for \( u(t,x) \). These can be applied to the linear Maxwell system in anisotropic media and to the nonlinear Cauchy Problem \( u_{t} − i \Lambda u = f (u) \), \( u(0,x) = g(x) \). If \( f(u) \) is a smooth function which satisfies \( f(u) \simeq |u|^{p} \) near \( u = 0 \), and \( g \) is small in suitably Sobolev norm, we prove global existence theorems provided \( p \) is greater than a critical exponent.
In questo lavoro si considera l’equazione \( u_{t} − i \Lambda u = 0 \) ove \( \Lambda = \lambda(D_{x}) \) è un operatore pseudo-differenziale del primo ordine con simbolo \( \lambda (\xi) \) reale. Opportune ipotesi di convessità sui sottolivelli del simbolo \( \lambda \) consentono di dimostrare il decadimento della soluzione \( u(t,x) \). Questa stima si applica al sistema di Maxwell in mezzi anisotropi e al seguente problema nonlineare: \( u_{t} − i \Lambda u = f (u) \), \( u(0,x) = g(x) \). Supponendo che \( f(u) \) sia una funzione regolare che in un intorno dell’origine è equivalente \( |u|^{p} \), si dimostra l’esistenza globale della soluzione quando il dato è piccolo in una opportuna norma di Sobolev e l’esponente \( p \) è sovracritico. 
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Lucente, Sandra; Ziliotti, Guido. A decay estimate for a class of hyperbolic pseudo-differential equations. Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni, Série 9, Tome 10 (1999) no. 3, pp. 173-190. http://geodesic.mathdoc.fr/item/RLIN_1999_9_10_3_a2/

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