On control problems of minimum time for Lagrangian systems similar to a swing. II Application of convexity criteria to certain minimum time problems

Bressan, Aldo ; Motta, Monica

Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni, Série 9, Tome 5 (1994) no. 3, pp. 255-264.

Abstract (VO)

This Note is the Part II of a previous Note with the same title. One refers to holonomic systems \( \Sigma = \mathcal{A} \bigcup \mathcal{U} \) with two degrees of freedom, where the part \( \mathcal{A} \) can schemetize a swing or a pair of skis and \( \mathcal{U} \) schemetizes whom uses \( \mathcal{A} \). The behaviour of \( \mathcal{U} \) is characterized by a coordinate used as a control. Frictions and air resistance are neglected. One considers on \( \Sigma \) minimum time problems and one is interested in the existence of solutions. To this aim one determines a certain structural condition \( \Gamma \) which implies a well known convexity condition (briefly WCC) just ensuring the afore-mentioned existence. These proofs are based on the results of Part I. The condition \( \Gamma \) becomes equivalent to the WCC in both the cases of the swing or of the ski having constant curvature trajectory. An other equivalent structural condition is established in a simple case regarding the ski. The WCC fails to be verified, e.g., for the simple pendulum of variable length. One observes that, also in the absence of the WCC, for certain initial and terminal data, the solution still exists.

Riassunto

Questa Nota è la Parte II di una precedente Nota dallo stesso titolo. Ci si riferisce a sistemi olonomi \( \Sigma = \mathcal{A} \bigcup \mathcal{U} \) a due gradi di libertà, ove la parte \( \mathcal{A} \) può schematizzare un'altalena o un paio di sci e \( \mathcal{U} \) schematizza chi usa \( \mathcal{A} \). Il comportamento di \( \mathcal{U} \) è caratterizzato da una coordinata usata come controllo. Si trascurano l'attrito e la resistenza dell'aria. Si considerano su \( \Sigma \) problemi di tempo minimo e ci si interessa dell'esistenza di loro soluzioni. A tale scopo si determina una certa condizione strutturale \( \Gamma \) che implica una ben nota condizione di convessità (brevemente WCC) appunto assicurante la suddetta esistenza. In tali dimostrazioni ci si basa sui risultati della Parte I. La condizione \( \Gamma \) diviene equivalente alla WCC nel caso dell'altalena o dello sci avente traiettoria con curvatura costante. Un'altra condizione strutturale equivalente viene stabilita in un caso semplice riguardante lo sci. La WCC risulta non verificata, per es., per il pendolo semplice con lunghezza variabile. Si osserva che anche in assenza della WCC, per certi dati iniziali e finali, la soluzione esiste lo stesso.