Un'osservazione sulla risolubilità formale delle equazioni alle derivate parziali lineari a coefficienti costanti

Bratti, Giuliano

Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni, Série 9, Tome 5 (1994) no. 1, pp. 23-25.

Riassunto (VO)

L'autore dà una condizione necessaria e sufficiente per la risolubilità formale degli operatori differenziali a coefficienti costanti, lineari, \( p(D) \), in termini di prolungamento, come distribuzioni, delle \( u \in D' (\mathbb{R}^{n} - \{ 0 \}) \), tali che \( p(-D)u = 0 \).

Abstract

Let \( s \) be a formal series and \( p = p(D) = \sum_{\alpha} a_{\alpha}D^{\alpha} \) a partial differential operator, with constant coefficients. We say that \( s \) is a formal solution of \( ps = 0 \) if there exists \( f \in C^{\infty} (\mathbb{R}^{n}) \) such that \( \sum_{q} \left[ f^{(q)} (0) / q! \right] z^{q} = s \) and \( (p(D) f)^{(q)}(0) = 0\), \( \forall q \in N^{n} (z = (z_{1}, \ldots , z_{n}) \). We give a characterization of formal solvability of \( p \) in terms of extension, like distributions, over all \( \mathbb{R}^{n} \) of the elements of the space \( \{ u \in D' (\mathbb{R}^{n} —\{0\} ): p(-D)u = 0 \} \).

Bibliographie

[1] J. E. Björk, Rings of Differential Operators. North-Holland, 1979. | MR | Zbl

[2] L. Hörmander, Linear Partial Differential Operators. Springer-Verlag, 1963. | Zbl

[3] M. Nacinovich, Risolubilità formale di P.D.E. Conferenza presso il Sem. Mat. dell'Univ. di Padova, maggio 1990.